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Über das Minimum positiver Hermitescher Formen. (German) JFM 60.0130.01
Verf. führt das von Perron und Oppenheim behandelte Problem weiter, wobei er, falls der Körper \(\mathfrak K \left ( i\sqrt {m}\right )\) die Klassenzahl Eins hat, genau die Perronsche Methode benutzt; bei höherer Klassenzahl wird an Beispielen gezeigt, daß das Minimum der Hermiteschen Form nicht immer durch relativ prime \(x, y\) erreicht wird. Dadurch entsteht eine prinzipielle Schwierigkeit, und die Perronsche Methode muß erheblich angeändert werden. Verf. erledigt die Fälle \[ \begin{alignedat}{2} m = &\;43, 67, 163 &&\qquad (\text{Klassenzahl } = 1),\\ &\;5, 6, 10, 163, 14, 15, 17 &&\qquad (\text{Klassenzahl } > 1).\end{alignedat} \] Für die Minima \(L\) ergeben sich dabei in den Fällen, in denen der Oppenheimsche Satz die genaue Schranke noch nicht liefert, die folgenden Ungleichungen: \[ \text{für } m = \begin{cases} 5: & L^2 \leq \frac {80}{11}\Delta,\\ 10: & L^2 \leq \frac {640}{39}\Delta,\\ 13: & L^2 \leq \frac {64\cdot 13}{35}\Delta,\\ 14: & L^2 \leq \frac {64\cdot 13}{41}\Delta,\\ 15: & L^2 \leq \frac {20}{3}\Delta.\end{cases} \] Diese Schranken sind exakt; diejenigen speziellen Formen, bei denen wirklich Gleichheit gilt, sind angegeben. Vollständig durchgeführt ist die ziemlich weitläufige Rechnung nur für \(m=43\) und \(m=5\); skizziert ist sie für \(m=67, 163, 15\). Für \(m=6, 10, 13, 14, 17\) sind nur die Resultate angegeben.

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References:
[1] A. Oppenheim, The minima of positive definite Hermitian binary quadratic forms. Math. Zeitschr.38 (1934), S. 538-545. · Zbl 0009.05201
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