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Über einige Sätze der additiven Zahlentheorie. (German) JFM 60.0131.03

Anschließend an die Arbeit von L. G. Schnirelmann [“Ob additivnykh svoistvach chisel” Ann. Inst. Polytechn. Novocherkassk 14, 3–28 (1930; JFM 56.0892.02); vgl. auch “Über additive Eigenschaften von Zahlenfolgen, Math. Ann. 107, 649–690 (1933; JFM 59.0198.01) und E. Landau, Die Goldbachsche Vermutung und der Schnirelmannsche Satz, Gött. Nachr. 1930, 255–276 (1930; JFM 56.0892.03)] beweist Verf. folgende beiden Sätze:
I. Die Folge aller Zahlen, welche sich als Summe einer Primzahl und einer \(k\)-ten Potenz (\(k\) fest) darstellen lassen, hat eine positive Dichte (d. h. es gibt \(\alpha =\alpha (k)>0\) derart, daß unterhalb \(x\) mehr als \(\alpha x\) Zahlen der Folge liegen).
II. Die Folge aller Zahlen, welche sich als Summe einer Primzahl und einer Potenz einer gegebenen (festen) Zahl \(a\) darstellen lassen, besitzt eine positive Dichte. (Die letzte Tatsache ist besonders interessant, weil die Anzahl der Primzahlen unterhalb \(x\) äquivalent \(\frac {x}{\log x}\), die Anzahl der Potenzen von \(a\) unterhalb \(x\) äquivalent \(\frac {\log x}{\log a}\) ist, das Produkt also gerade auf die Größenordnung \(\text{const}\cdot x\) führt.)
Der Beweis wird folgendermaßen geführt: Seien \(m_1,m_2,\ldots,n_1,n_2,\dots \) zwei Folgen positiver ganzer Zahlen; \(M(x)\) bzw. \(N(x)\) bedeuten die Anzahl der \(m_i\) bzw. \(n_i\leq x\); \(A_1(u,x), A_2(u,x)\) bzw. \(\psi (u,x)\) seien die Lösungszahlen der Gleichungen \[ m_i-m_j = u,\;n_i-n_j = u,\;\text{bzw.}\;m_i+n_j=u \] mit \(m_i,m_j,n_i,n_j\leq x\). Indem man auf zwei verschiedene Weisen die Lösungszahl von \[ n_i-n_j+m_l-m_k = 0 \] (\(n_i,n_j,m_l,m_k\leq x\)) bestimmt, erhält man die Identität \[ \sum _{u=0}^{2x}\psi (u,x)^2 = M(x)N(x)+ 2\sum _{u=1}^{x}A_1(u,x)A_2(u,x). \tag{2} \] Bedeutet ferner \(\nu (2x)\) die Anzahl der Zahlen \(\leq 2x\), welche sich in der Form \(n_i+m_j\) (\(n_i,m_j\leq x\)) darstellen lassen, so folgt aus der Schwarzschen Ungleichung leicht, daß\^^M \[ \nu (2x)>\frac {(\sum _{i=0}^{2x}\psi (i,x))^2}{\sum _{i=0}^{2x}\psi (i,x)^2}. \tag{4} \] Wegen \(\sum _{i=0}^{2x}\psi (i,x)=M(x)N(x)\) und (2) folgt hieraus \[ \nu (2x)>\frac {M(x)^2N(x)^2}{M(x)N(x)+2\sum _{u=1}^{x}A_1(u,x)A_2(u,x)};\tag{1} \] (die Formeln (1) und (2) des Textes enthalten einen Druckfehler).
Zum Beweise von I wähle man als Folge \(m_i\) die Folge der Primzahlen, als Folge \(n_i\) die Folge \(1^k,2^k,3^k,\ldots \) aller \(k\)-ten Potenzen. Unter Benutzung der von Schnirelmann bewiesen Abschätzung \[ A_1(u,x)<c_1\frac {x}{\log ^2x}\prod \limits _{p/u}\left (1+\frac 1p\right ) \] folgt dann elementar \[ \sum _{n=1}^{x}A_1(u,x)A_2(u,x)<c_2\frac {x^{1+\frac 2k}}{\log ^2x} \] und wegen (1) der Satz I.
Zum Beweise von II wähle man wieder als Folge \(m_i\) die Primzahlen, als Folge \(n_i\) die Zahlen \(1,a,a^2,a^3,\ldots \). Man erhält hier: \[ \sum _{u=1}^xA_1(u,x)A_2(u,x)<c_3x\sum _{\substack{ k=1\\ (k,a)=1}} ^\infty \frac {\mu (k)^2}{kl(k)}, \tag{a} \] wo \(\mu (k)\) die Moebiussche Funktion und \(l(k)\) den Exponenten, zu welchem \(a\) modulo \(k\) gehört, bedeutet. Die Hauptschwierigkeit des Beweises liegt in dem Konvergenzbeweis der Summe auf der rechten Seite. (a) in Verbindung mit (1) liefert II. (Vgl. zu dieser Arbeit auch die frühere russische Arbeit des Verf: “Über zwei Sätze der additiven Zahlentheorie”, Rec. Math. Moscou 40, 514–520 (1933; JFM 59.0954.01; Zbl 0008.38903)

MSC:

11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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References:

[1] Eine Folgen 1,n 2,n 3... heißt Folge positiver Dichte, wenn die UngleichungN(x)/x>? für alle genügend großen Werte vonx erfüllt ist, woN(x) die Anzahl allern i?x angibt und ? eine positive Konstante bezeichnet. Siehe Schnirelmans Arbeit: ?Ob additivnych swoistwach tschisel?, Nowotscherkassk 1930; siehe auch Math. Annalen 107, S. 649-690.
[2] ?(x) ist die bekannte zahlentheoretische Funktion, welche die Anzahl der Primzahlen bisx angibt.
[3] Wir beschränken uns auf den Fall eines quadratfreiens, da für die anderens ?(s)2=0 ist.
[4] ?(d) ist die bekannte zahlentheoretische Funktion von Euler.
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