×

zbMATH — the first resource for mathematics

On a theorem of Hardy and Ramanujan. (English) JFM 60.0145.02
Bezeichnungen wie in vorstehendem Referat.
Nach Hardy und Ramanujan (s. das Zitat in vorstehendem Referat) ist für \(\delta >0\) die Anzahl der ganzen Zahlen \(n\leqq x\), für welche eine der Ungleichungen \[ \begin{matrix} f(n) > \log \log x+A(\log \log x)^{\frac 12+\delta }, \\ f(n) < \log \log x-A(\log \log x)^{\frac 12+\delta } \end{matrix} \tag{1} \] gilt, ein \(o(x)\). Dasselbe gilt für \(F(n)\). Verf. gibt für diesen Satz einen kurzen indirekten Beweis. Er betrachtet \[ R(x)=\sum _{n=1}^x(f(n)-\log \log x)^2 \] und zeigt \(R(x)=O(x\log \log x)\), was zu den Ungleichungen (1) im Widerspruch steht. Ebenso zeigt er: \[ D(x)= \sum _{n=1}^x(F(n)-\log \log x)^2=O(x\log \log x). \]

Subjects:
Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Analytische Zahlentheorie.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI