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On the differentiability of multiple integrals. (English) JFM 60.0219.02

Bewiesen wird: \(f(x,y)\) sei eine Funktion der Lebesgueschen Klasse \(L^p\), \(p>1\), für \(0\leq x\leq 1\), \(0\leq y\leq 1\). Dann gilt dort fast überall \[ \lim _{h\to 0,k\to 0}\frac 1{h\cdot k}\int \limits _{\;\;Q}\!\!\!\int f(x,y)\,dx\,dy=f(x_0,y_0);\quad Q\begin{cases} x_0\leq x\leq x_0+h\\ y_0\leq x\leq y_0+k.\end{cases} \] Für \(p=1\) ist dies nur richtig, wenn \(\frac hk\) und \(\frac kh\) beschränkt bleiben (von Saks bewiesen).
Als Anwendung ergibt sich, daß die Fouriersche Doppelreihe einer zweifach periodischen Funktion \(f(x,y)\) aus \(L^p\), \(p>1\), fast überall Fejér-summierbar ist. Dies ist wiederum für \(p=1\) falsch.

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Full Text: DOI EuDML