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Sur les ensembles dénombrables avec application aux séries trigonométriques. (French) JFM 60.0224.19
Unter der unteren bzw. oberen Häufigkeit einer reellen Folge \(\{a_n\}\) an einer gegebenen Stelle \(\xi \) versteht man nach einer in der Wahrscheinlichkeitsrechnung üblichen Weise die Grenzwerte \[ \liminf _{r\to 0}\frac {N(r,\xi )}r=\underline M(\xi )\quad \text{bzw.}\quad \limsup _{r\to \infty }\frac {N(r,\xi )}r=\overline M(\xi ), \] wo \(N(r;\xi )\) die Anzahl der \(a_n\) mit \(n\leq r\), \(a_n\geq \xi \) bezeichnet. Es ist \(\underline M(\xi )\leq \overline M(\xi )\); Im Falle der Gleichheit besitzt die Folge in \(\xi \) eine Häufigkeit \(M(\xi )\).
Die Funktionen \(\underline M(\xi )\) und \(\overline M(\xi )\) besitzten die folgenden Eigenschaften: Sie sind monoton nicht zunehmend, \(=1\) für \(\xi <\liminf a_n\), \(=0\) für \(\xi >\limsup a_n\) und in jedem Intervall \(<\xi _1,\xi _2>\) konstant, wo in \(<\xi _1,\xi _2>\) höchstens endlich viele Glieder \(a_n\) liegen.
Verf. diskutiert zunächst einige spezielle Folgen. So drückt sich die bekannte Gleichverteilung der Folge \(\{nx-[nx]\}\), \(x\) irrational, in der Gleichung \(M(\xi )=1-\xi \) in \(<0,1>\) aus.
Es wird ferner bewiesen, daß die obigen Eigenschaften der Funktionen \(\underline M(\xi )\) und \(\overline M(\xi )\) insofern für sie charakteristisch sind, als für zwei beliebige Funktionen \(\underline m(\xi )\leq \overline m(\xi )\) dieser Art stets eine Umordnung der Folge \(\{a_n\}\) existiert, die diese Häufigkeiten besitzt.
Es bezeichnen \(\underline M_a(\xi )\), \(\overline M_a(\xi )\) bzw. \(\underline M_b(\xi )\), \(\overline M_b(\xi )\) die Häufigkeiten der beiden Folgen \(\{|a_n|\}\) bzw. \(\{|b_n|\}\), und \(\underline M(\xi )\), \(\overline M(\xi )\) die der Folge \(\left \{|a_n\cdot b_n|\right \}\). Dann werden die rechtsseitigen Grenzwerte für \(\xi \to +0\), nämlich \(\underline M(+0)\) und \(\overline M(+0)\), durch die entsprechenden Grenzwerte der Folgen \(|a_n|\) und \(|b_n|\) abgeschätzt. Es folgt so das folgende Divergenzkriterium: Ist \(\overline M_a(+0)+\underline M_b(+0)>1\), so ist \(\sum a_nb_n\) divergent. Hiervon werden Anwendungen auf trigonometrische Reihen gemacht:
(1) Wenn die Reihe \(\sum a_n\cos 2\pi nx\) oder \(\sum a_n\sin 2\pi nx\) für ein einziges irrationales \(x\) oder für unendlich viele rationale \(x\) konvergiert, so muß für die Folge \(\{|a_n|\}\) und \(\xi >0\) die Häufigkeit \(M(\xi )\) verschwinden.
(2) Wenn die Reihe \(\sum (a_n\cos 2\pi nx+b_n\sin 2\pi nx)\) für zwei Werte \(x\), von denen einer rational und einer irrational ist, oder für unendlich viele \(x\) konvergiert, so muß für die Folge \(\left \{\sqrt {a_n^2+b_n^2}\right \}\) und \(\xi <0\) die Häufigkeit \(M(\xi )\) verschwinden. (IV 2.)
Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.
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Full Text: DOI Numdam EuDML