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Zwei Sätze aus dem Ideenkreis des Schwarzschen Lemmas über die Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. (German) JFM 60.0275.03

Die Übertragung der Prinzipien, die zum Beweise der Sätze dieses Ideenkreises in der klassischen Theorie verwandt werden, auf Funktionen mehrerer Veränderlichen scheitert insbesondere daran, daßes hier keine Funktionen gibt, die in einem vorgegebenen Bereich regulär sind, in einem inneren Punkte verschwinden und auf dem Rande den Betrag 1 haben. Verf. arbeitet statt dessen mit Sätzen aus der Theorie der Orthogonalfunktionen. Es gelingt ihm, unter gewissen Voraussetzungen ein Analogen zu beweisen zu der bekannten klassischen Formel: \[ |f(z)|\leq M|\frac {\varphi (z;n_1)\cdot \varphi (z;n_2)\dots \varphi (z;n_\nu )}{\varphi (z;p_1)}\^^Mcdot\varphi (z;p_2)\cdot \varphi (z;p_\mu \}|, \] wo \(M\) das Maximum des Betrages der Funktion auf dem Rande des Bereiches bedeutet, \(n_1,\dots,n_\nu \) die Nullstellen, \(p_1, \dots,p_\mu \) die Poststellen von \(f(z)\) und die \(\varphi \) Funktionen sind, die in den \(n_i\) bzw. \(p_i\) einfache Nullstellen haben und auf dem Rande von Betrage 1 sind. Verf. erhält die Formel: \[ \left (\frac {1}{H(w,z)}\right )^{\sqrt {F-S}}\left |\frac {\prod _{k=1}^l \nu _k(w,z)}{\prod _{k=1}^r\pi _k(w,z)}\right |\leq |f(w,z)|\leq (H(w,z))^{\sqrt {F-S}}\left |\frac {\prod _{k=1}^l \nu _k(w,z)}{\prod _{k=1}^r\pi _k(w,z)}\right |. \] Dabei sind die \(\nu _k\) bzw. \(\pi _k\) “in bezug auf den vorgegebenen Bereich \(\mathfrak B\) normierte” Funktionen, die so gewält sind, daß\(f\cdot \frac {\prod \pi _k}{\prod \nu _k}\) in \(\mathfrak B\) regulär ist und nirgends verschwindet. Ferner ist \[ F=\int \limits _{\mathfrak B}(\log |f(z)|)^2dw\qquad (dw\quad \text{vierdimensionales Volumenelement}). \] \(H\) ist eine positive Funktion, die nur von \(frak B\) abhängt, und \(S\) eine von \(\mathfrak B\), den \(\nu _k\) und \(\pi _r\) abhängige Konstante.
Im zweiten Teil der Arbeit untersucht Verf. speziell Bereiche mit “Bestimmungsfläche”. Bezüglich der “kleinsten Bestimmungsfläche” eines solchen Bereiches ergibt sich dann ein Analogon zu einem Satz von Ostrowski (vgl. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie II, 2. aufl. (1931; F. d. M. 57), S. 127) aus der klassischen Theorie.
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References:

[1] Verallgemeinerungen des Schwarzschen Lemmas, die die Eigenschaften der durch ein Paar von F. v. 2 k. V. erzeugten Abbildungen betreffen, findet man in den bekannten Arbeiten von Reinhardt ?Über Abbildungen durch analytische F. v. 2 k. V.? Math. Ann.83 (1921), S. 211-255. II. Teil, von Carathéodory ?Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen F. v. 2 k. V.? Math. Ann.97 (1927), S. 76-98 und Carathéodory ?Über Geometrie der analytischen Abbildungen, die durch analytische F. v. 2 k. V. vermittelt werden?. Abh. a. d. math. Sem. d. Hamburg. Univ.6 (1928), S. 96-145. Die in der vorliegenden Arbeit betrachteten Fragen liegen aber in einer wesentlich anderen Richtung als die in den genannten Arbeiten behandelten. Dagegen besitzt die vorliegende Untersuchung Berührungspunkte mit der Note: ?Über F. v. 2. k. V., die ebene Pol- und Nullflächen besitzen?, Jahresber. d. D. M. V.39 (1930), S. 266-268. · JFM 48.0408.04
[2] Wir werden im folgenden nur schlichte, ganz im Endlichen gelegene Bereiche, die von endlich vielen regulären dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten berandet sind, betrachten; die Bezeichnung ?allgemeine? soll nur als Gegensatz zu gewissen, später vorkommenden, sehr speziellen Bereichen mit ausgezeichneter Randfläche dienen.
[3] ?Über ausgezeichnete Randflächen in der Theorie der F. v. 2 k. V.? Math. Ann.104 (1931), S. 611-636. Vgl. auch die Arbeit ?Über die Veranschaulichung der Kreiskörper und Bereiche mit ausgezeichneter Randfläche?, Jahresber. d. deutsch. Math. Verein.42 (1932), S. 238-252, insbesondere § IV, S. 249 ff. Die erste dieser Arbeiten werden wir im § 3 als die Arbeit A, die zweite als Arbeit V bezeichnen.
[4] Vgl. dazu die in der Fußnote 5) ?Über ausgezeichnete Randflächen in der Theorie der F. v. 2 k. V.? Math. Ann.104 (1931) S. 327 zitierte Arbeit A.
[5] Zwei Sätze über F. v. 2 k. V., Math. Ann.100 (1928), S. 399-410. Vgl. zum folgenden auch ?Über unendliche Hermitesche Formen ...?, Math. Zeitschr.29 (1929), S. 641-677.
[6] Der Hilfssatz 2 wurde bei einer anderen Gelegenheit von Herrn Hammerstein aufgestellt.
[7] Vgl. dazu Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie II. Bd. (Leipzig und Berlin, 1924), S. 19, ferner F. Severi, ?Risultati, vedute e problemi nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse?, Rendiconti del Seminaro matematico e fisico di Milano5 (1931). S. 1-59.
[8] Die Formeln der Arbeit A werden durch eckige Klammern gekennzeichnet.
[9] Vgl. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie Bd. 2 (Leipzig und Berlin, 1927), S. 127. · JFM 53.0277.08
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