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Über die Nullstellen der Bernoulischen Polynome. (German) JFM 60.0296.01

Beweis des Satzes: Die Zwischen 0 und \(\frac 12\) gelegenen Nullstellen des Polynoms \(B_{2k}(x)\) nehmen mit wachsendem \(k\) zu und haben für \(k\rightarrow +\infty \) den Grenzwert \(\frac 14\). Der Beweis fußt auf der Darstellung \[ B_{2k}(x)=(-1)^{k-1}\sum \limits _{n=1}^\infty \frac {2\cos 2n\pi x}{(2n\pi )^{2k}}\quad (k=1,2,3,\dots ) \] und dem Nachweis, daßin dem in Frage kommenden Intervall im Falle \(k\geqq 1\) die Ableitung \(\frac {d\xi }{dk}<0\) ist, wobei \(\sum \limits _ {n=1}^\infty \frac {\cos 2n\pi \xi }{n^{2k}}=0\).

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References:

[1] Vergleiche hierzu und zum Folgenden z. B. K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 3. Aufl., Berlin 1931, J. Springer, S. 540–542 und 550–551.
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