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Summatorische Eigenschaften der Besselschen Funktionen und andere Funktionalrelationen, die mit der linearen Transformationsformel der Thetafunktion äquivalent sind. (German) JFM 60.0306.01
Als äquivalent werden hier zwei Funktionrelationen bezeichnet, wenn sie sich durch eine Funktionaltransformation ineinander überführen lassen. So wird zunächst die Summenformel \[ \frac 12\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }J_0\left ((n+v)x\right )=\frac 1x+2\sum \limits _{m=1}^p \frac {\cos 2m\pi v}{\sqrt {x^2-4m^2\pi ^2}}\quad \left (x>0,\neq 2m\pi ;p=\left [\frac x{2\pi }\right ]\right ) \] mittels des folgenden Gedankengangs bewiesen: Laplacetransformation der linken Seite, lineare Transformationsformel der elliptischen \(\vartheta \)-Funtion \(\vartheta _3(v,\tau )\), dann beiderseits Rückgang zu den Oberfunktionen. Unter Benützung des Ergebnisses erhält man dann recht einfach mittels des Faltungssatzes die allgemeinere Beziehung \[ 2^{\nu -1}x^\nu \sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\frac {J_\nu \left ((n+v)x\right )}{(n+v)^\nu }= \frac {\sqrt \pi }{\varGamma \left (\nu +\frac 12\right )}\left (x^{2\nu -1}+2\sum \limits _{m=1}^p(x^2-4m^2\pi ^2)^{\nu -\frac 12} \cos 2m\pi \nu \right ) \]
\[ (\nu \geqq 0;0<\nu <1;x,p\text{ wie oben}). \] Für \(\nu =\frac 12\) ergibt sich hieraus die Fourierentwicklung \[ \frac 1\pi \sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\frac {\sin (n+v)x}{n+v}=\frac {\sin (2p+1)\pi v}{\sin \pi v}. \] Zum Schluß wird noch das bekannte Integral \[ \int \limits _0^\infty J_0(z)\cos yzdz \] in diesen Zusammenhang eingereiht und die Beziehung der Methode zu einer Watson-schen Summenformel für die Funktion \[ K_0(s)=\frac {\pi i}2H_0^{(1)}(is) \] hergestellt (vgl. Watson, Quarterly Journ. (Oxford series)2(1931), 298-309; F. d. M. 57).

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Full Text: EuDML