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Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, Integralgleichungssysteme und allgemeinen Funktionalgleichungen. (German) JFM 60.0319.01
Verf. betrachtet Systeme von nichtlinearen Integralgleichungen folgender Gestalt: \[ \psi _i(s)+\int \limits _BK_i(s,t)f_i(t,\psi _1(t),\dots,\psi _n(t))dt=0\quad (i=1,2,\dots,n). \] Dabei bedeuten \(s,t\) Punkte in einem ein- oder mehrdimensionalen Bereich \(B\). Die (nicht notwendig symmetrischen) Kerne \(K_i(s,t)\) sollen beschaften sein, daß für sie die Theorie der linearen Integralgleichungen gilt. Die gegebenen Funktionen \(f_i(t,u_1,\dots,u_n)\) sollen für alle \(t\) in \(B\) und reelle \(u_1,\dots,u_n\) stetig sein. Die Existenz eines stetigen Lösungssystems \(\psi _1(s),\dots,\psi _n(s)\) wird unter folgenden weiteren Annahmen über \(f_i\) bewiesen:
I. Die \(f_i\) genügen der Lipschitzbedingung \[ \left (f_i(s,u_1,\dots,u_n)-f(s,v_1,\dots,v_n)\right )^2\leqq \left ((u_1-v_1)^2+\dots + (u_n-v_n)^2\right ), \] wobei \(\sum \limits _{i=1}^nk_i^2<\lambda _1^2\) ist, wenn \(\lambda _1\) den kleinsten Eigenwert der Kerne \[ \overline K_i(s,t)=\int \limits _BK_i(s,r)K_i(t,r)dr \] bedeutet. Die Lösung ist eindeutig.
II. Für die Funktionen \(f_i\) gilt \[ |f_i(s,u_1,\dots,u_n)|\leqq a+K_{i1}|u_1|+k_{i2}|u_2|+\dotsb +k_{in}|u_n|, \] wo die Konstanten \(k_{ir}\)die Bedingungen \[ (k_{i1}^2+\dots +k_{in}^2)(M_1^2+\dots +M_n^2)<1\quad (i=1,2,\dots,n) \] mit \[ M_r^2=\int \limits _B\int \limits _BK_r(s,t)^2dsdt \] erfüllen.
Die Beweise beruhen auf der Zurückführung auf das Gleichungssystem für die Zahlwerte \(c_{1\varrho,\dots,n\varrho }\) \((\varrho =1,2,\dots,N)\) für jedes ganze \(N\): \[ c_{i\varrho }+\frac 1{\lambda _{i\varrho }}\int \limits _Bf_i\left (t,\sum \limits _{\sigma =1}^Nc_{1\sigma }p_{1\sigma }(t), \dots,\sum \limits _{\sigma =1}^Nc_{n\sigma }p_{n\sigma }(t)\right )q_{i\varrho }(t)dt=0 \] \[ (i=1,2,\dots,n;\varrho =1,2,\dots,N), \] wo \(\lambda _{i\varrho },p_{i\varrho },q_{i\varrho }\) die Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen von \(K_i\) sind, und Grenzübergang zu \(N\rightarrow \infty \). Die Existenz eines Lösungssystems \(c_{1\sigma },\dots,c_{n\sigma }\) wird im ersten Fall mittels eines Iterationsverfahrens, im zweiten durch den Brouwerschen Verschiebungssatz erbracht.
Aus diesen Sätzen folgt nun unmittelbar:
Die erste Randwertaufgabe für \[ \varDelta u=F(x,y,u,u_x,u_y) \] ist lösbar, wenn \[ \left (F(x,y,u,u_1,u_2)-F(x,y,v,v_1,v_2)\right )^2\leqq k^2\left ((u-v)^2+(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2\right ) \text{I.} \] mit \[ k^2(M^2+M_1^2+M_2^2)<1 \] ist, oder wenn \[ F(x,y,u,u_1,u_2)\leqq a+k|u|+k_1|u_1|+k_2|u_2| \text{II}. \] mit \[ (k^2+k_1^2+k_2^2)(M^2+M_1^2+M_2^2)<1 \] ist, wobei \[ M^2=\iint \limits _B\iint \limits _BG(x,y;\xi,\eta )dxdyd\xi d\eta, \] \[ M_1^2=\iint \limits _B\iint \limits _BG_xdxdyd\xi d\eta, \] \[ M_2^2=\iint \limits _B\iint \limits _BG_ydxdyd\xi d\eta \] gesetz ist und \(G\) die am Rande verschwindende Greensche Funktion von \(B\) bedeutet. Die Voraussetzungen über \(F\) können noch etwas abgewandelt werden. Die Überlegungen lassen sich auf allgemeinere Funktionaloperationen wie Differential- und Integralgleichungen übertragen, wenn diese nur die nötigen Stetigkeits- und Kompaktheitseigenschaften haben.
Im zweiten Teil betrachtet Verf. die Gleichung \[ \lambda \psi (s)-\int \limits _BK(s,t)g(t,\psi (t))dt=0 \] bei stetigen symmetrischem positiv definitem Kern. Dabei soll für das stetige \(g\) gelten \(g(s,0)=0\). Es wird gezeigt, daß für mindestens einen reellen Wert von \(\lambda \) außer der trivialen Lösung \(\psi (s)\equiv 0\) eine weitere vorhanden ist. Der Beweis wird durch Grenzübergang aus der Tatasche gewonnen, daß die Funktion \[ H^{(n)}(y_1,\dots,y_2)=\int \limits _BG(t,\sum \limits _{\nu =1}^ny_\nu \varphi _\nu (t))dt \] mit \(G(s,u)=\int \limits _0^ug(s,v)dv\) bei der Nebenbedingung \(\sum \limits _{\nu =1}^n\lambda _\nu y_\nu ^2=c^2\) für jedes \(n\) ein Minimum hat. Auch diese Überlegungen lassen sich auf allgemeine lineare Räume und Operatoren verallgemeinern.

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