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Spektraltheorie in nichtseparabeln Räumen. (German) JFM 60.0325.02
Bekanntlich wird der Hilbertsche Raum durch folgende fünf Eigenschaften gekennzeichnet:
I. Linearität. II. Eigenschaften des inneren Produktes. III. Separabilität. IV. Zu endlich vielen Elementen gibt es ein davon linear unabhängiges. V. Vollständigkeit.
Verf. zeigt zunächst, daß die Spektraltheorie auch ohne III aufgebaut werden kann. Hierzu muß der Beweis von Riesz für die Spektralzerlegung selbstadjungierter Operatoren nur an zwei Stellen abgeändert werden, nämlich bei der Zerlegung eines Elements in eines einer Teilmannigfaltigkeit und ein dazu senkrechtes, sowie bei der Darstellung einer linearen Funktion als ein Produkt. Im Gegensatz zum Hilbertschen Raum kann es im nichtseparabeln Raum jedoch vorkommen, daß die zu einem Operator gehörige Spektralform \(P_\lambda \) an mehr als abzählbar vielen Stellen \(\lambda \) unstetig wird. Dies wird am Beispiel eines Raumes von Vektoren mit kontinuierlich vielen Komponenten gezeigt.
Sodann untersucht Verf. einen Raum \(\mathfrak V\), in dem nur I und II gilt. Als Operator \(S\) wird jede Vorschrift definiert, welche jedem \(u\) aus \(\mathfrak V\) ein \(\mu \) aus \(\mathfrak V\) zuordnet, wenn die Zuordnung linear ist. Wenn in jeder Menge \(x\) aus \(\mathfrak V\) mit \(|x|\leqq 1\) eine Folge \(x^{(n)}\) liegt mit \(Sx^{(n)}\rightarrow z\) und \(z\subset \mathfrak V\), so heißt der Operator vollstetig. Für vollstetige Operatoren läßt sich die Spektraltheorie durchführen. Daraus folgen die Spektralsätze für Integralgleichungen mit stetigem Hermiteschen Kern. Weiter ergibt sich daraus der Fundamentalsatz der fastperiodischen Funktionen, wenn man wie Weyl von dem Operator \[ \underset {T\rightarrow \infty } \lim \frac 1T\int \limits _0^Tf(s-z)u(t)dt=v(s) \] ausgeht.
Endlich wird noch gezeigr, daß es in jedem Raum, für den I, II, III, IV, V gelten, ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem gibt, und daß alle solche Systeme die gleiche Mächtigkeit besitzen.

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References:
[1] H. Weyl, Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen. Math. Annalen97 (1927), S. 338-356. A. Hammerstein. Über die Vollständigkeitsrelation in der Theorie der fastperiodischen Funktionen. Sitzungsber. der Berl. Akad. (1928) S. 17-20. A. Wintner, Spektraltheorie unendlicher Matrizen. M. Riesz, Zum Eindeutigkeitssatz der fastperiodischen Funktionen. Fysiogr. Sällsk. Lund Förh.3, Nr. 10 (1933), S. 1-9. · JFM 52.0260.02
[2] F. Riesz, Über die linearen Transformationen des komplexen Hilbertschen Raumes. Acta litt. ac sc. reg. univ. hung. Szeged5, S. 23-54.
[3] Die Beweismethode ist der Variationsrechnung entlehnt. Für die abstrakte Spektraltheorie ist sie zuerst von Friedrichs (vgl. insbesondere: Spektraltheorie halbbeschränkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren, Math. Ann.109, S. 465-487) verwendet worden.
[4] Vgl. F. Rellich, Ein Satz über mittlere Konvergenz. Nachrichten Ges. d. Wiss. Göttingen 1930, S. 30-35.
[5] Vgl. Anmerkung 3). · JFM 52.0260.02
[6] Diese siehe etwa H. Bohr, Fastperiodische Funktionen. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete1 (1932).
[7] H. Weyl, Anmerkung 3), S. 344. Vgl. auch R. Lüneburg, Eine Bemerkung zum Beweise eines Satzes über fastperiodische Funktionen, Det. Kgl. Danske Videnskabernes Selskab 1932. · JFM 52.0260.02
[8] Nachträglicher Zusatz vom 15. März 1934. Äquivalente Sätze zu den hier gegebenen hat unabhängig Herr O. Teichmüller gefunden.
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