Sur une suite de nombres qui correspond à une fonction sommable. (French) JFM 60.0337.01

Soula, M. J.

Journ. de Math. (9) 13, 93-112 (1934).

\(f(x)\) sei einen in \(0\leqq x\leqq a\) definierte und summierbare Funktion; dann existieren \[ f_1(x)=\int \limits _0^xf(t)dt,\dots,\quad f_n(x)=\int \limits _0^xf_{n-1}(t)dt. \] Die Werte \(c_n=f_n(a)\) nennt man die Integralkoeffizienten von \(f(x)\).
Verf. untersucht nun das Verhalten der analytischen Funktion \[ \varPhi (z)=\int \limits _0^a\frac {f(a-t)}{z-t}dt \] in der Nähe des Schnittes \(a\leqq x\leqq b\). Er gibt als eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Beschränktheit des Imaginärteils einer analytischen Funktion \(\varPsi (z)\), daßsich \(\varPsi (z)\) in der Form \(\int \limits _0^a\frac {\varphi (t)}{z-t}dt+\text{const}\) darstellen läßt, wo \(\varphi (t)\) eine für \(0<t<a\) beschränkte und summierbare Funtion ist. Weiter werden notwendige Bedingungen genannt, damit die Glieder einer Zahlenfolge \((c_n)\) Integralkoeffizienten einer summierbaren Funktion sind, und Bezeihungen zu den Lückensätzen für Potenzreihen hergestellt.
Diese Betrachtungen gestatten, Probleme über Funktionen reeller Veränderichen in solche über analytische Funktionen zu transformieren; Verf. verwendet die entwickelten Sätze zum Studium der Integralgleichung \[ f(x)=\int \limits _0^bK(x,s)h(s)ds. \] (IV 3 C, IV 4.)

Reviewer: Raff, H., Dr. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionalanalysis.