Fourier transformations in the complex domain. (English) JFM 60.0345.02

Paley, R. E. A. C.; Wiener, N.

American Mathematical Society Colloquium Publications Vol. XIX. New York: American Mathematical Society. viii, 184 p. (1934).

Dieses interessante Buch, das die verschiedenartigsten Fragen der reellen und komplexen Analysis behandelt, ist in sich geschlossen durch die Einheit der Methode: den systematischen Gebrauch der Fourier-Mellinschen Transformation unter Heranziehung des Parsevalschen Satzes. Ein großer Teil der Resultate ist bereits veröffentlicht [Trans. Am. Math. Soc. 35, 348–355 (1933); 35, 761–791 (1933); JFM 59.0421.01]. Das gilt vom ersten Kapitel, das die Klasse der in \((-\infty,\infty )\) quasianalytischen Funktionen behandelt und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Zugehörigkeit zu dieser Klasse angibt. Das zweite Kapitel beantwortet Fragen nach der Abgeschlossenheit des Funktionensystems \(x^{\lambda _n}\) bzw. \(L^2\) im Intervall \((0,1)\) (Satz von Szász). Das dritte Kapitel bringt eine Lösung der Laplaceschen Integralgleichung
\[ g(u)=\int_0^\infty f(x)e^{-ux}\,dx\quad (c<u<\infty); \]
Fragen aus der Wärmestrahlung führen zur Integralgleichung
\[ g(u)=\int_0^\infty f(x)\frac{xu}{e^{xu-1}}\,dx, \]
bei deren Lösung die Riemannsche Zetafunktion auftritt. Die Stieljessche Integralgleichung
\[ g(u)=\int_0^\infty \frac{f(x)}{x+u}\,dx \]
wird gelöst; ein Abschnitt über Watson-Transformationen [G. N. Watson, General transforms, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 35, 156–199 (1933; JFM 59.1079.06; Zbl 0007.06401)] beendet dieses Kapitel, das im nächsten fortgeführt wird durch Untersuchung der homogenen linearen Integralgleichung
\[ f(x)=\int_0^\infty K(x-y)f(y)\,dy; \]
\(K(u)\) verschwindet exponentiell für große \(|u|\). Hier sind zur Lösung neben der Theorie der Fouriertransformierten noch freilich recht einfache Tatsachen aus der komplexen Funktionentheorie nötig. Es gelingt sogar (bei geradem \(K(u)\)) die asymptotische Darstellung von \(f\) für große \(|x|\).
In Erweiterung eines Mercerschen Satzes [J. Mercer, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 5, 206–224 (1907; JFM 38.0428.01)] wird gezeigt: Ist \(F\) meßbar und beschränkt in jedem endlichen Intervall \((0,A)\),
\[ \int_0^\infty |K(\xi )|\,d\xi <\infty;\quad F(x)+\int_0^xK(x-\xi )F(\xi)\,d\xi \to s\text{ für }x\to \infty, \]
so geht \(F(x)\to s:\left (1+\int_0^\infty K(\xi )\,d\xi \right)\), falls \(\int_0^\infty K(\xi ) e^{-\omega \xi }\,d\xi +1\neq 0\) für \(R(\omega )\geq 0\). Umgekehrt gilt die Ungleichung, wenn für jedes \(F\) aus dem ersten Limes der zweite folgt. Dieser Satz ist ziemlich schwer und erfordert zum Beweise den Wienerschen Satz, daß mit \(f\) auch \(1:f\) eine absolut konvergente Fourierreihe hat, falls \(f\neq 0\). Das Kapitel schließt mit einem Satze von G. H. Hardy [J. Lond. Math. Soc. 8, 227–231 (1933; JFM 59.0425.01; Zbl 0007.30403)] über Fouriertransformierte.
Die nächsten Kapitel sind vorwiegend funktionentheoretisch. Ein Tauberscher Satz: Ist \(\lambda_n>0\) monoton, \(\sum \lambda_n^{-2}\) konvergent, \(\varPhi (z)=\varPi \left (1-z^2\lambda _n^{-2}\right )\), dann ist \(\log \varPhi (iy)\sim \pi A|y|\); die Aussagen \(y\to \pm \infty \) und \[ \int_{-\infty }^{+\infty }\log |\varphi (x)|x^{-2}\,dx=-\pi ^2A \] sind äquivalent, wird bewiesen und daraus für Funktionen der Ordnung \(\leq 1\) die notwendige und hinreichende Bedingung für die Realität aller Nullstellen hergeleitet mit einer Folgerung für die Zetafunktion.
Zwei Pólyasche Sätze werden bewiesen, der zweite insbesondere verallgemeinert: Ist \(\lambda_\nu \) monoton, positiv, \(\limsup \frac n{\lambda _n}>1\), dann folgt aus \(\int_{-\pi }^{+\pi }f(x)e^{\pm i\lambda _nx}\,dx=0\) stets \(f\equiv 0\) für \(f\) aus \(L^2\).
Für \(\lim \frac n{\lambda _n}=1\) ist der Satz nicht richtig. Unter geeigneten Annahmen über \(F(z)=\varPi \left (1-\left (z\lambda _n^{-1}\pi ^{-1}\right )^2\right)\) läßt sich die Nichtabgeschlossenheit von \(\left \{e^{i\lambda _nx}\right \}\) in \((-\pi,+\pi )\) genauer charakterisieren bzw. die Abgeschlossenheit. In Anlehnung an Birkhoff wird dieses System \(\left \{e^{i\lambda _nx}\right \}\) weiter untersucht und für \(|\lambda _n-n|\leq L\leq \pi ^{-2}\) die Abgeschlossenheit sowie die Existenz eines normiert biorthogonalen Systems \(h_n(x)\) festgestellt, so daß \[ \sum e^{i\lambda_nx}\int_{-\pi }^{+\pi }f(\xi )h_n(\xi )\,d\xi \text{ und }\sum \frac {e^{inx}}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }f(\xi )e^{-in\xi }\,d\xi \]
in jedem abgeschlossenen Teilintervall von \((-\pi,+\pi )\) dieselben Summabilitätseigenschaften haben. Als interessante Folgerung aus diesem Ideenkreise ergibt sich ein Lückensatz: Es sei \(\lambda _n\) monoton, \(\lambda _{n+1}-\lambda _n\rightarrow \infty \) für \(n\rightarrow \pm \infty \), \(\sum \limits _{-\infty }^{+\infty }|a_n|^2r^{2|\lambda _n|}\) konvergent in \(0<r<1\), \(f(r,x)=\) limes in medio \(\sum_{-N}^{+N}a_nr^{|\lambda _n|}e^{i\lambda _nx}\) in jedem endlichen \(x\)-Intervall, \(f(x)=\) limes in medio \(f(r,x)\) für \(r\to 1\) für irgend ein Intervall \((a,b)\). Wenn dann \(f\) über ein Intervall existiert, so über jedes, wenn ein Intervall analytisch ist, so über jedes.
Die verallgemeinerte harmonische Analyse, so heißt das nächste Kapitel, führt das weiter, was N. Wiener [The Fourier integral and certain of its applications. Cambridge: University Press (1933; JFM 59.0416.01)] ausgesagt hat.
Das Buch schließt mit einem vorwiegend von Paley herrührenden Kapitel über random-Funktion, dessen Inhalt im Wesentlichen mit einer Arbeit von Paley, Wiener, A. Zygmund [Notes on random functions. Math. Z. 37, 647–668 (1933; JFM 59.1015.01; Zbl 0007.35402)] übereinstimmt, verbessert durch E. Hopf und Jessen unter Benutzung eines Birkhoffschen Satzes [G. D. Birkhoff, Proof of a recurrence theorem for strongly transitive systems. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 17, 650–655 (1931; JFM 57.1011.01; Zbl 0003.25601) (IV 3 D, 4.)
Besprechung: A. Buhl, Enseignement 33 (1935). 238–239.

Reviewer: Hoheisel, G., Prof. (Greifswald)

MSC:

42-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to harmonic analysis on Euclidean spaces
45-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to integral equations
30-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionalanalysis.

Citations:

JFM 59.0421.01; JFM 59.1079.06; Zbl 0007.06401; JFM 38.0428.01; JFM 59.0425.01; Zbl 0007.30403; JFM 59.0416.01; JFM 59.1015.01; Zbl 0007.35402; JFM 57.1011.01; Zbl 0003.25601