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A note on Fourier transforms. (English) JFM 60.0348.01

Hinsichtlich der Wienerschen Bemerkung, daßein Paar von \(\cos \)-Transformierten \(f\) und \(g\) nicht beide “sehr klein” sein können, wurde von Hardy bewiesen (1933; F. d. M. \(59_{\text I}\), 425) : Wenn \(f\) und \(g\) beide \(O(|x|^me^{-\frac 12x^2})\) für große \(x\) ein gewisses \(m\) sind, dann sind sie eine endliche Linearkombination von Hermiteschen Funktionen. Ingham (vgl. das vorstehende Referat) befaßte sich mit dem extremen Fall, daß\(f\) außerhalb eines endlichen Intervalls verschwindet. Verf. behandelt dazwischenliegende Fälle.
Satz 1. Es sei \(p>2,A>0,p^\prime =\frac p{p-1},\alpha =\frac \pi {2(p-1)},\sigma ^\prime =\left \{p^\prime (Ap)^{p^\prime -1}\right \}^{-1}, A^\prime =\sigma ^\prime \sin \alpha \). Gilt für zwei gerade, ganze, zusammengehörige Funktionen \[ f=O\left (e^{-Ax^p}\right ),g=O\left (e^{-(A^\prime +\varepsilon )x^p}\right ) \] für ein \(\varepsilon >0\), so verschwinden \(f\) und \(g\).
Satz 2. Für jedes \(p>2,A>0,m\) reell es zusammengehörige Funktionen \(f\) und \(g\), so daß \[ f=O\left (x^me^{-Ax^p}\right ),g=O\left (x^me^{-A^\prime x^{p^\prime }}\right ) \] mit \[ m^\prime =\frac {2m-p+2}{2p-2}. \] Es werden noch vier weitere Sätze in disere Richtung abgeleitet.

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