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Zum Haarschen Maß in topologischen Gruppen. (German) JFM 60.0356.11
Verf. kommt hier auf die von A. Haar (1933; F. d. M. \(59_{\text I}\), 432) bewiesene Existenz eines rechts- (oder links-)invarianten Maßes in im Kleinen kompakten topologischen Gruppen zurück. Er gibt für kompakte Gruppen einen eleganten Existenzbeweis für das Haarsche Maß an. Gleichzeitig ergibt sich bei diesem Beweis die Eindeutigkeit des Haarschen Maßes bei kompakten Gruppen (d. h. die Tatsache, daß alle Haarschen Maße einer kompakten Gruppe sich allein in einem konstanten Faktor unterscheiden) und seine Invarianz gegenüber Links-Translationen und gegenüber \(x\rightarrow x^{-1}\).
Verf. findet allerdings das Haarsche Maß\^^Mkompakter Gruppen nicht ganz unmittelbar, sondern auf einem Umwege. Er konstruiert ein Mittel stetiger Funktionen der Gruppenelemente, von dem er, abgesehen von der üblichen Eigenschaft, noch Rechtinsvarianz fordert, also \[ \text{Mittel }f(x) =\text{Mittel }f(xa). \]
Für viele Anwendungen wird gerade dies Funktionenmittel praktischer sein als das Haarsche Maß; aber obendrei ist ohne Weiteres klar, wie sich aus dem Funktionenmittel das Haarsche Maß ergibt.
Das Funktionenmittel findet Verf. so: Man bilde zu dem gegebenen \(f(x)\) “verschobene” Funktionen \(f(xa_\nu )(\nu =1,\dotsc,n)\) und mittele sie arithmetisch: \[ \frac 1n\sum f(xa_\nu ). \] Wählt man \(n\) genügend groß und die \(a_\nu \) geeignet, so kann man die Schwankung von \(\frac 1n\sum f(xa_\nu )\) beliebig klein machen. Die \(\frac 1n\sum f(xa_\nu )\) konvergieren dann gegen eine konstante Funktion, deren Wert das Rechtsmittel von \(f(x)\) sein muß. Ebenso sieht man, daß es ein Linksmittel gibt, und daß sein Wert mit dem des Rechtsmittels übereinstimmt.

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Full Text: EuDML