Eine Verschärfung des Poincaréschen “Wiederkehrsatzes”. (German) JFM 60.0359.01

Khintchine, A.

Compositio Math. 1, 177-179 (1934).

Man betrachte eine stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit in einem Raume \(\varOmega \). \(m\) sei das invariante Volumenmaß, und \(m(\varOmega )\) sei endlich. Der Kern des Poincaréschen Wiederkehrsatzes ist die Tatsache, daß\^^M\(m(AA_t)>0\) für beliebig große Zeiten \(t\) gilt; dabei ist \(A\) irgend Teil von \(\varOmega \), \(A_t\) die Lage von \(A\) nach Ablauf der Zeit \(t\). Verf. zeigt, daßfür beliebig große \(t\) sogar \[ m(AA_t)>\frac {m(A)^2}{m(\varOmega )}-\varepsilon \] gilt, wenn \(\varepsilon >0\) beliebig vorgegeben ist. Der erste Term rechts kann durch keinen kleineren ersetzt werden, da bei einer Bewengung vom Mischungstypus die linke Seite für \(t\rightarrow \infty \) gegen diesen Term strebt.

Reviewer: Hopf, E., Prof. (Leipzig)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Kontinuierliche Gruppen. Differentialinvarianten. Integralinvarianten.