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The differential invariants of generalized spaces. X+242 p. (English) JFM 60.0363.02
Cambridge University Press (1934).
Vorliegendes Werk umfaßt zehn Kapitel: I: \(n\)-dimensionale Räume. II: Affine und verwandte Invarianten. III: Projektive Inavarianten. IV: Konforme Invarianten. V: Normalkoordinaten. VI: Raumidentitäten. VII: Absolute differentielle Skalarinvarianten und Parametr. VIII: Das Äquivalenzproblem. IX: Reduzibilität von Räumen. X: Willkürliche Funktionen und Rauminvarianten.
Nach einer Einleitung über Punktmengen, Nachbarschaftsbegriffe, Koordinatensysteme, Koordinatentransformationen und verwandte Begriffe wird bereits in \(\S \) 2 vermöge der bekannten linearen Übertragung \[ d\xi ^\alpha +L_{\beta \gamma }^\alpha \xi ^\beta dx^\gamma,\quad L_{\beta \gamma }^\alpha =\varGamma _{\beta \gamma }^\alpha +\varOmega _{\beta \gamma }^\alpha,\quad \begin{matrix} \varGamma _{\beta \gamma }^\alpha =\frac 12(L_{\beta \gamma }^\alpha +L_{\gamma \beta }^\alpha ),\\ \varOmega _{\beta \gamma }^\alpha =\frac 12(L_{\beta \gamma }^\alpha -L_{\gamma \beta }^\alpha )\end{matrix} \] ein allgemeiner asymmetrischer affiner Zusammenhang eingeführt, woran sich die Affintheorie der “Bahnkurven” \[ \frac {d^2x^\alpha }{ds^2}+\varGamma _{\beta \gamma }^\alpha \frac {dx^\beta }{ds}\frac {dx^\gamma }{ds}=0 \] schließt (\(\S \) 3). Dabei wird naturgemäß die parameterinvariante Form der Differentialgleichungen der Bahnkurven in den Vordergrund gestellt. Soll ein weiteres System \[ \frac {d^2x^\alpha }{ds^2}+\varLambda _{\beta \gamma }^\alpha \frac {dx^\beta }{ds}\frac {dx^\gamma }{ds}=0 \] dieselben Bahnkurven definieren, wie das vorher gegebene, so führt die Diskussion der sich einstellenden Kriterien für \(\varGamma _{\beta \gamma }^\alpha,\varLambda _{\beta \gamma }^\alpha \) auf die Projektivtheorie der Bahnkurven (\(\S \) 4). Mit dem Distanzbegriff \[ ds^2=g_{\alpha \beta }dx^\alpha dx^\beta \] gelangt man unmittelbar zur Theorie metrischer (Riemannscher) Räume (\(\S \) 5) und damit zur bekannten Verknüpfung von \(g_{\alpha \beta }\) und \(\varGamma _{\alpha \beta }^\alpha \). Daran schließt sich die Theorie des Fernparallelismus (\(\S \) 6); sie wird durch vier Postulate begründet, deren zweites lautet: In jedem Punkte \(P\) des betrachteten Gebietes \(\operatorname{Re} \) existiert eine Konfiguration (Bein) von \(n\) unabhängigen in \(P\) koinitialen Vektoren (\(h_i^\alpha \) Beinkomponenten). Bei Einfürung einer quadratischen Metrik ergibt sich der Zusammenhang \[ g_{\alpha \beta }=\sum \limits _{i=1}^ne_ih_\alpha ^ih_\beta ^i; \] desgleichen wird die (wohlbekannte) in solchen Räumen herrschende lineare Übertragung kurz angeführt. Etwas ausführlicher werden die geometrischen Grundbegriffe konformer und Weylscher Räume behandelt (\(\S \S \) 7, 8). Mit der Formulierung des invariantentheoretischen Prinzips, das hinter allen bischer erwähnten Begriffen steht und weiterhin die entschiedende Rolle spielt, schließt dieser Abschnitt (\(\S \) 9).
Vom Inhalt des zweiten Kapitels seien hervorgehoben: die systematisch geordneten Definitionen (tensorieller) Differentialinvarianten, affine, fernparallelistische, Weylsche Differentialinvarianten, die Ableitung der entsprechenden Vektorwirbel (Integrabilitätskoeffizienten bei geschlossenen Übertragungen), der kovarianten Ableitungen wie auch der sogenannten Differentialparameter.
Die Theorie der projektiven Differentialinvarianten knüpft am einfachsten an das Transformationsgesetz der Komponenten des projektiven Zusammenhanges an (\(\S \) 16). Erweitert man dabei die von vornherein gegebene Gruppe \(\mathfrak G\) \((x^\alpha =f^\alpha (\overline x_1,\dotsc,\overline x_n))\) zur Gruppe \(\mathfrak G^*\) \[ x_0=\overline x_0+\log |x\overline x|+\text{const}\quad (i=1,2,\dotsc,n), \]
\[ x_i=f^i(\overline x_i,\dotsc,\overline x_n)\quad (|x\overline x|\text{ Funktionaldeterminante}) \] und bildet in geeigneter Weise Übertragungskomponenten \(*\varGamma _{\beta \gamma }^\alpha (\alpha,\beta \gamma =0,1,2,\dotsc,n)\), so gelingt bekanntlich auf diesem Wege eine \((n+1)\)-dimensionale affine Darstellung \(A_{n+1}^*\) des projektiven Raumes \(P_n\)(\(\S \) 16, \(\S \) 17). Damit ist das Problem der Aufstellung von Projektivtensoren und Projektivinvarianten auf das der entsprechenden Affingrößen in \(A_{n+1}^*\) zurückgeführt (\(\S \) 18). Es kommt dann also letzhin auf die Transformationstheorie der Gruppe \(\mathfrak G^*\) an (\(\S \) 19).
Etwas anders liegen die Dinge hinsichtlich der Theorie der Konforminvarianten. Gerade diese Theorie hatte Verf. in einer Reihe von Untersuchungen in neuerer Zeit erfolgreich entwickelt. Man steht nach den Ergebnissen dieser Arbeiten hier zunächst vor der Aufgabe, die Theorie einer relativinvarianten quadratischen Differentialform aufzuabauen. Wiederum läßt sich ein konformer Raum \(C_n\) darstellen als ein \((n+1)\)-dimensionaler Raum \(A_{n+1}^0\) vom affinen Zusammenhang \(^0\varGamma _{\alpha \beta }^i\), bezogen auf die Transformationen einer Gruppe \(^*\mathfrak G\), und entsprechend kann die Theorie der Konforminvarianten in dieser Darstellung ausgebaut werden.
Enthalten die vier ersten bis jezt erwähnten Kapitel bei allem Formalismus in gleich starker Berücksichtigung begriffliche Grundlagen, so überwiegt im fünften Kapitel das formale Moment. Es handelt sich um Existenz un Eigenschaften spezieller Koordinatensysteme, die man als Verallgemeinerungen der aus der Riemannschen Geometrie bekannten sogenannten “geodätischen Systeme” anzusehen hat. Wiederum werden derartige Systeme in Räumen mit affinem, mit fernparallel-affinem, mit projektivem Zusammenhang untersucht. Insbesondere in Räumen mit Fernparallelismus sei die Darstellung der sogenannten “skalaren Differentiation” hervorgehoben (\(\S \) 34). Die Einführung der Normalkoordinaten wirkt sich in der Darstellung von Invarianten und Tensoren durch bedeutende Vereinfachungen aus.
Dies kommt auch im folgenden Kapitel VI zur Geltung,wo es sich um systematische Zusammenstellung aller wichtigen Identitäten (\(g_{\alpha \beta }=g_{\beta \alpha },\varGamma _{\beta \gamma }^\alpha = \varGamma _{\gamma \beta }^\alpha \) usw.) vom affinen, fernparallelen, projektiven usw. Standpunkt handelt. Hier findet sich auch der bekannte Satz von F. Schur: Wenn die Krümmung eines metrischen Raumes \((n\geqq 3)\) unabhängig von der Orientierung ist, so ist sie unveränderlich von Punkt zu Punkt (\(\S \) 51). Ein weiterer Paragraph (\(\S \) 53) behandelt eine ellgemeine Methode zur Herleitung sogenannter (für die theoretische Physik bedeutungsvoller) Divergenzidentitäten. In Kapitel VII wird man einen der wichtigsten (und auch originellsten) Abschnitte sehen. Hier handelt es sich nicht nur im die Konstruktion von Differentialinvarianten und Differentialparametern, sondern auch um deren Vollständigkeit und Unabhängigkeit. Als unumgängliche Grundlage entwickelt hier Verf. wesentliche Teile der (Lieschen) Theorie kontinuierlicher Transformationsgruppen (\(\S \)\(\S \) 55-67), um erst daran die eigentlichen Invariantenprobleme zu knüpfen.
In den Aus\"fuhrungen der Kapitel VIII und IX hat man es mit wichtigen Anwendungen der ganzen Theorie zu tun. Als Darstellungsmittel dienen dabei wiederum vorzüglich Normalkoordinaten; das Äquivalenzproblem wird im affinen, metrischen metrisch-fernparallelen projektiven und konformen Falle behandelt. Reduzibilitätsprobleme treten auf, wenn man z. B. nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen fragt, unter welchen sich etwa folgende Tensoren folgendermaßen reduzieren: \[ L_{\beta \gamma }^\alpha \rightarrow 0,\quad g_{\beta \gamma }\rightarrow \pm \delta _\gamma ^\beta,\quad h_i^\alpha \rightarrow \pm \delta _i^\alpha,\quad G_{\beta \gamma }\rightarrow \pm \delta _\gamma ^\beta,\quad \varPi _{\beta \gamma }^\alpha \rightarrow 0. \] So kommt man zu Kriterien projektiv- bzw. affineberen usw. Räume. Die im letzten Kapitel X behandleten Fragstellungen laufen im wesentlichen auf die sogenannte Anfangswerttheorie partieller Differentialsysteme hinaus: Welche Werte darf man frei vorgeben; wann wird eine Lösung durch Anfangswerte eindeutig festgelegt usw.? Es sei noch erwähnt, was man in diesem Buch nicht findet: die E. Cartansche Theorie der sogenannten Holonomiegruppe und damit im Zusammenhang die von J. A. Schouten betonte und präzisierte Rehabilitierung des Erlanger Programms auf höherer Differentiationsstufe, im Rahmen der Theorie allgemeiner linearer Übertragungen. Aber davon hat Verf. planmäßig abgesehen, wie man seiner Einleitung entnehmen kann. Andernfalls hätte sich wohl der reiche Inhalt dieses Werkes noch verdoppelt. (V 6 C.)
Besprechung: S. Lefschetz: Bulletin Sc. math. (2) 59 (1935), 65-66.