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Sur l’intégration des équations aux dérivées partielles. I, II. (French) JFM 60.0447.02
Es sei \(u_1\) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ \varphi (u)=A\frac {\partial ^2u}{\partial x^2}+2B\frac {\partial ^2u}{\partial x\partial y}+C\frac {\partial ^2u}{\partial y^2}+D\frac {\partial u}{\partial x}+E\frac {\partial u}{\partial y}+Fu=0 (1) \] und \(z_1\) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ \psi (z)=\frac {\partial ^2Az}{\partial x^2}+2\frac {\partial ^2Bz}{\partial x\partial y}+\frac {\partial ^2Cz}{\partial y^2}-\frac {\partial Dz}{\partial x}-\frac {\partial Ez}{\partial y}+Fz=0. \] Durch \[ \frac {\partial \varphi _1}{\partial x}=-u_1\frac {\partial Bz_1}{\partial x}-u_1\frac {\partial Cz_1}{\partial y}+Bz_1\frac {\partial u_1}{dx}+Cz_1\frac {\partial u_1}{dy}+Eu_1z_1,\quad \frac {\partial \varphi _1}{\partial y}=\cdots, \]
\[ \frac {\partial v}{\partial x}=Bz_1\frac {\partial u}{\partial x}+Cz_1\frac {\partial u}{\partial y}-u\frac {\partial Bz_1}{\partial x}-u\frac {\partial Cz_1}{\partial y}+Euz_1,\quad \frac {\partial v}{\partial y}=\cdots, \]
\[ v'=\frac {\varphi _1u}{u_1}-v \] kann (1) in eine andere Differentialgleichung mit durch Quadraturen angebbarer Lösung \(v'\) transformiert werden. Mit dieser Transformation, die mehrere bekannte Transformationen als Spezialfälle enthält, kann man die Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung \[ \frac {\partial ^2u}{\partial x\partial y}+a\frac {\partial u}{\partial x}+b\frac {\partial u}{\partial y}+cu=0 \] schrittweise aus den bekannten Lösungen der einfachsten hyperbolischen Differentialgleichung \(\frac {\partial ^2u}{\partial x\partial y}=0\) herleiten.
Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 14. Hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen
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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML