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The calculus of variations in the large. (English) JFM 60.0450.01
In dem vorliegenden Werk handelt es sich um eine erstaunliche Stoßkraft und großem Erfolg unternommene Eroberung von mathematischen Neuland. In Zusammenfassung und wesentlicher Weiterführung der bisherigen Untersuchungen des Verf. wird die “Variationsrechnung im Großen” unter stärksten Heranziehung topologischer Methoden entwickelt. Es handelt sich um die Lösbarkeit der Randwertaufgaben beim Lagrangeschen Problem ohne Nebenbedingungen, einschließlich der Theorie der geschlossenen Extremalen. Um zu allgemeinen Ergebnissen zu gelangen, wird das zu behandelnde Variationsproblem als positiv definit und regulär in einem Riemannschen Raum angenommen, der als geschlossene Mannigfaltigkeit im Sinne der kombinatorischen Topologie vorgegeben ist. Die Randbedingungen sind in der Weise gestellt, daß das geordnete Paar von Anfangs- und Endpunkt einer zulässigen Kurve als Element einer gegebenen geschlossenen Mannigfaltigkeit aufgefaßt wird. Die geforderten Regularitätsbedingungen mögen hier übergangen werden.
Die ersten Kapitel bringen zunächst die klassische Theorie des Lagrangeschen Problems “im Kleinen”, allerdings bereits in einer Form, die den Zwecken des Verf. und der Allgemeinheit der Randbedingungen angepaßt ist. Im ersten Kapitel wird die Theorie bei festen, im zweiten bei veränderlichen Endpunkten entwickelt. Die Jacobische Bedingung erscheint hier konsequent als Eigenwertproblem behandelt. Das dritte Kapitel führt einen Grundbegriff der ganzen Theorie ein, den “Index” eines “kritischen”, d.h. den Rand- und Transversalitätsbedingungen genügenden Extremalenbogens. Er bedeutet zunächst die - mit der richtigen Vielfachheit gezählte - Anzahl der negativen Eigenwerte des vorin erwähnten Problems und läßt sich - dies ist die Hauptsache - durch den “Index” einer quadratischen Form definieren, d.h. die Anzahl der negativen Quadrate in der kanonischen Darstellung. Diese “Indexform” ist dem Extremalenbogen zugeordnet, und in ihrer Definition, die unter Heranziehung gebrochener Extremalen erfolgt, steckt eine Anzahl willkürlich verfügbarer Parameter. Es folgen Anwendungen auf die Probleme mit zwei auf separaten Mannigfaltigkeiten beweglichen Endpunkten sowie auf geschlossene Extremalen. Das vierte Kapitel bringt einen Exkurs über selbstadjungierte Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen und mag trotz seines interessanten und teilweise völlig neuen Inhaltes hier übergangen werden, da es nur in loserer Verbindung zu dem Gegenstand steht. Das fünfte Kapitel bringt dann die eingangs skizzierten Voraussetzungen über den Riemannschen Raum in aller Ausführlichkeit und bringt so den Übergang zur Theorie “im Großen”. Es enthält im wesentlichen die passende Formulierung der Ergebnisse vom ersten bis dritten Kapitel unter den jetzt geschaffenen allgemeineren Annahmen.
Zur Vorbereitung der Variationsrechnung im Großen folgt jetzt im fünften Kapitel die Theorie der gewöhnlichen Maxima und Minima im Großen. Hier setzt nun das Rüstzeug der Topologie in vollem Umfange ein. Handelt es sich doch darum, aus den topologischen Eigenschaften des Definitionsbereiches einer Funktion auf ihre notwendig vorhandenen “kritischen Punkte” (d.h. Punkte mit verschwindenden ersten Ableitungen) zu schließen. Man kann sagen, das Gesetz sein eine höchstmögliche Verallgemeinerung des Rolleschen Satzes. Eine allgemeine Aussage in dieser Richtung hatte schon Birkhoff in seinem bekannten “Minimaxprinzip” machen können: es ist in den allgemeinen Ergebnissen des Verf. enthalten. Setzt man zunächst voraus, daß die kritischen Punkte “nicht-ausgeartet” sind, d.h., daß in ihnen die zweiten Ableitungen der Funktion eine nicht-singuläre quadratische Form bestimmen, und sit das Definitionsgebiet der Funktion eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen, so sind die kritischen Punkte isoliert, und ihre Anzahl ist endlich. AMn klassifiziert sie nach dem Index (s.o.) der eben genannten quadratischen Form. Die Anzahl der kritischen Stellen vom Index \(k\) sei mit \(M_k\) bezeichnet. Die Zahlen \(M_k\) sind dann nach unten durch die topologischen Verhältnisse der Riemann-\(M_n\) begrenzt, und zwar ist bei gegebener \(M_n\) das Minimum von \(M_k\) eine topologische Invariante \(R_k\), die direkt (als \(k\)-te “Zusammenhangzahl”) definiert wrden kann. Ferner bestehen die Ungleichungen: \[ M_0\geq R_0, \] \[ M_0-M_1\leq R_0-R_1, \] \[ (\ast )\qquad \cdots \cdots \cdots \] \[ M_0-M_1+\cdots \pm M_{n-1}\gtreqqless R_0-R_1+\cdots \pm R_{n-1}, \] \[ M_0-M_1+\cdots \mp M_n=R_0-R_1+\cdots \mp R_n \] (die oberen Zeichen bei ungeradem, die unteren bei geradem \(n\)).
Einfachstes Beispiel: Für eine zweiseitige Fläche vom Geschlecht \(p\) ist \(R_0=1, R_1=2p, R_2=1\); also hat eine Funktion dort mindestens ein Maximum, ein Minimum und \(2p\) Sattelpunkte.
Während dieses Ergebnis des Verf. schon vor zehn JAhren gewonnen wurde, ist die vorliegende Darstellung durchaus darauf gerichtet, auch alle ausgearteten Fälle zu umfassen. Es treten dann allgemein “kritische Mengen” auf, und es läßt sich jeder kritischen Menge eine Anzahl von “Typenzahlen” \(m_0, m_1,\dots,m_n\) zuordnen, so daß sie sich als gleichwertig zu \(m_0\) nicht ausgearteten kritischen Punkten vom Index \(0, m_1\) ebensolchen vom Index \(1,\dots,m_n\) solchen vom Index \(n\) erweist. Bei Anwendung dieser Zählung bleiben dann die Resultate \((^{\ast )}\) allgemein bestehen. Über die angewandten Methoden wei hier nur gesagt, daß sie nicht rein kombinatorisch verlaufen, sondern daß gewisse Deformationen der Mannigfaltigkeit eine grundlegende Rolle spielen. Als eine unmittelbare Anwendung ergibt sich die Behandlung des Normalenproblems für eine geschlossene Mannigfaltigkeit im euklidischen Raum. Zwecks einer weiteren Anwendung auf die “kritischen” (d.h. stationäre Werte der Länge liefernden) Sehnen einer ebensolchen Mannigfaltigkeit muß die allgemeine Theorie unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Endpunkte der Sehnen vertauscht werden können, ohne die Länge zu ändern, etwas abgeändert werden. Es ergibt sich, daß jedes regulär-analytisches Bild der \(m\)-dimensionalen Kugel mindestens \(m+1\) kritische Sehnen aufweist, die die Indices \(m,m+1,\dots,2m\) besitzen, entsprechend den Hauptsachen des \(m\)-dimensionalen Ellipsoids. Auch hier sind die ausgearteten Fälle mit Hilfe von Typenzahlen mit einzubeziehen. Das siebente Kapitel bringt das Kernstück des ganzen Buches, nämlich die Übertragung der topologischen Theorie der Extreme auf das LagrangeProblem. Natürlich muß hier erst die Topologie des Funktionenraumes entwickelt werden. Dies gelingt im wesentlichen durch Approximation der zulässigen Kurven mit gebrochenen Extremalen, also Gebilde, die von Zusammenhangzahlen, die auch unendlich sein können. Es bestehen aber zu \((^{\ast })\) entsprechende Relationen weiter, sobald die \(M_k\) endlich sind. Anwendungen auf den Fall fester Endpunkte und eines beweglichen Endpunktes folgen dann. Das wichtigste spezielle Ergebnis ist dies: Auf einem regulär-analytischen Bild der \(m\)-dimensionalen Kugel lassen sich zwei Punkte \(A_0, A_1\) durch unendlich viele geodätische Bogen \(g_n\) verbinden. Die Längen von \(g_n\) und die Anzahl der auf \(g_n\) liegenden, zu \(A_0\) konjugierten Punkte wachsen mit \(n\) unbegrenzt. Das achte Kapitel bringt die Topologie des Funktionenraumes der geschlossenen Kurven auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, und zwar mit Hilfe geschlossener Kurven auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, und zwar mit Hilfe geschlossener gebrochener Extremalen eines speziellen LagrangeIntegrals. Am Schluß zeigt sich, daß die gewonnenen Ergebnisse von dem zugrunde gelegten Integral unabhängig, also rein topologischer Natur sind. Methodisch besteht eine gewisse Analogie zu dem im sechsten KApitel behandelten Problem der kritischen Sehnen, wobei der Vertauschbarkeit der Endpunkte einer Sehne die Diedergruppe entspricht, die die Ecken einer geschlossenen gebrochenen Extremalen gestattet. Nach Einführung “zyklischer” Zusammenhangzahlen gelten wieder zu \((^{\ast })\) analoge Ungleichung.
Als Frucht dieser Betrachtung bringt zum Schluß das neunte Kapital die Erledigung von Poincarés Problem der geschlossenen geodätischen Linien. Es wird bewiesen, daß auf einem regulär-analytischen Bild der Einheits-Kugel, für das der Abbildungsmaßstab zwischen \(\mu _0\) und \(\mu _1\) bleibt, stets geschlossene geodätische Linien existieren, deren Länge zwischen \(2\pi \mu _0\) und \(2\pi \mu _1\) liegen. Sind diese Linien nicht “ausgeartet”, so gibt es \(\frac {m(m+1)}{2}\) unter ihnen, die hinsichtlich ihres Index den Hauptellipsen eines wenig von der Kugelgestalt abweichenden \(m\)-dimensionalen Ellipsoids entsprechen. Im allgemeinen Fall sind wieder die Typenzahlen einzuführen.
Der Bereich, den ich hier erstatten konnte, mußte sich auf die Haupttatsachen aus dem schönen Buch beschränken, von dem eine Fülle von fruchtbaren Anregungen ausgeht. (V 2.)