Sulle proprietà delle estremanti. (Italian) JFM 60.0452.01

Tonelli, L.

Annali Pisa (2) 3, 213-237 (1934).

Es handelt sich im ersten Kapitel um das Problem, unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen schließen zu können, daßeine Kurve \(y(x)\), die das Integral \[ I=\int \limits _a^bf(x,y,y')dx \] zum Extrem macht, eine “Extremaloide” ist, d.h. der (du Bois-Reymondschen) Bedingung genügt: \[ \frac {d}{dx}\int \limits _a^xf_{y'}dx-\int \limits _a^xf_ydx=c. \]
Als hinreichend ergeben sich die folgenden Voraussetzungen: \(f, f_y,f_{y'}\) sind stetig in einem abgeschlossenen Bereich \(A\) für \((x,y)\) und alle Werte von \(y'\); die Vergleichskurven sollen “gewöhnliche” Kurven sein, d.h. \(y(x)\) wird als absolut stetig und so beschaffen vorausgesetzt, daß\(I\) (im Lebesgueschen Sinn) existiert; zu jedem beschränkten Teilbereich gibt es vier Konstante \(M,N_1,N_2,N_3\), so daß\^^M \[ |f_y(x,y+\varphi,y')|\leq N_1|y'|+N_2|f(x,y,y')|+N_3, \] wenn \(|\varphi |<M\) und \((x,y)\) in \(A', (x,y+\varphi )\) in \(A\). Dann ist jeder Teilbogen einer des Minimum liefernden Kurve \(C_0\), der im Inneren von \(A\) bleibt, eine Extremaloide.
Es werden dann Bedingungen aufgestellt, unter denen längst \(C_0\) der Differenzenquotient \(\frac {\Delta a}{\Delta x}\) nach oben oder unten beschränkt ist, bzw. die Ableitung \(y'(x)\) existiert.
Im zweiten KApitel werden entsprechende Betrachtungen für “Pseudoextremaloide” vorgenommen, d.h. für Kurven, die der durch Vertauschung der Rolle von \(x\) und \(y\) entstehenden Bedingung genügen: \[ \frac {d}{dx}\int \limits _a^x(f-y'f_{y'})dx-\int \limits _a^xf_xdx=c. \]
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit “quasi-regulären, normalen” Integralen, d.h. es wird vorausgesetzt, daß\(f_{y'}\) monoton von \(y'\) abhängt. Es wird hier für gewöhnlichen Kurvenbogen \(C_0\), die im Innern von \(A\) verlaufen und ein Minimum für \(I\) liefern, die ausnahmslose Existenz einer stetigen Tangente nachgewiesen, dagegen die Existenz und Stetigkeit von \(y'\) sowie das Bestehen der Eulerschen Gleichung nur bis auf eine Nullmenge von \(x\)-Werten. Zusatzbedingungen lassen sich angeben, unter denen \(y'\) nur in den Endpunkten von \(C_0\) unendlich wird. Ein einfaches Beispiel zeigt, daßselbst bei regulärem \(I(f_{y'y'}>0)y'\) in den Endpunkten einer das Minimum liefernden Kurve unendlich werden kann.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung