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Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. (German) JFM 60.0466.03

Ein stochastischer Prozeßwird in naheliegender Weise “stationär” genannt, wenn die Verteilungsgesetze der beiden Variablengruppen \[ (x_{t_1},x_{t_2},\dots,x_{t_n})\quad \text{und}\quad (x_{t_1+u},x_{t_2+u},\dots,x_{t_n+u}) \] bei beliebigem \(n\) und \(u\) identisch ausfallen. Da in der vorliegenden Arbeit nur Momente erster und zweiter Ordnung der zufälligen Variablen eine Rolle spielen, genügt die folgende Voraussetzung der “Stabilität in weiterem Sinne”. Erwartungswert und Streuung von \(x_t\) sollen von \(t\) unabhängig sein, und der Korrelationskoeffizient von \(x_t\) und \(x_u\) soll von \(|t-u|\) allein abhängen: \(E(x_ux_v)=R(u-v)\) mit gerader Funktion \(R(t)\). Ein stationärer Prozeßheißt stetig, wenn \(R(+0)=1\) ist, was die Stetigkeit von \(R(t)\) nach sich zieht. Es wird dabei übrigens stets zur Vereinfachung der Schreibweise \(E(x_t)=0, E(x^2_t)=1\) vorausgesetzt. - Zwei stochastische Prozesse mit den zufälligen Variablen \(x_t\) bzw. \(y_t\) heißen “in stationärer Weise abhängig”, wenn \[ { \frac 12}\{E(x_ty_{t'})+E(x_{t'}y_t)\}=\varrho (t'-t), \] d. h. eine Funktion von \(|t'-t|\) allein ist (\(\varrho \) gerade). \(\varrho (t)\) heißt die gegenseitige Korrelationsfunktion. Sind \(R_1(t)\), \(R_2(t)\) und \(R(t)\) die Korrelationsfunktionen der Prozesse mit den Variablen \(x_t\) bzw. \(y_t\) bzw. \(x_t+y_t\), so folgt \[ \varrho (t)=[1+\varrho (0)]R(t)-{ \frac 12}[R_1(t)+R_2(t)]. \] Aus der Stetigkeit von \(R_1(t)\) und \(R_2(t)\) folgt die von \(\varrho (t)\).
Satz 1. Dafür, daß\(R(t)\) Korrelationsfunktion eines stetigen stationären Prozesses ist, ist notwendig und hinreichend, daß\(R(t)\) als \(\int \limits ^{+\infty }_{-\infty }\cos tx\;dF(x)\) darstellbar ist, wo \(F(x)\) eine gewisse Verteilungsfunktion bedeutet.
Satz 2. \(\varrho (t)\) (und damit auch \(R(t)\)) besitzt einen bestimmten Mittelwert \[ \lim _{T\rightarrow \infty }\frac 1T\int \limits ^T_0\varrho (t)dt. \] Satz 3. \(\varrho (t)\) ist zerlegbar in \(\varrho (t)=\varrho _1(t)+\varrho _2(t)\), wo \(\varrho _1(t)\) fastperiodisch ist und \((\varrho _2(t))^2\) den Mittelwert Null hat.
Schließlich gilt das Gesetz der großen Zahlen, d. h. mit \(\xi (T)= { \frac 1T\int \limits ^T_0}x_tdt\) ist mit beliebig kleinen positiven Zahlen \(\varepsilon \) und \(\delta \) für hinreichend großes \(T\) und alle \(U>0\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ |\xi (T+U)-\xi (T)|>\varepsilon \] kleiner als \(\delta \).
Ein Schlußparagraph stellt eine Beziehung her zu dem v. Neumannschen “Quasiergodensatz” und ähnlichen Untersuchungen.

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References:

[1] Die ziemlich verbreitete Ausdrucksweise ?durch die Angabe vonx t wird die Verteilung vonx t?(t?>t) vollständig definiert? ist selbstverständlich ungenügend; eine richtige Fassung findet man z. B. bei G. Pólya (sur quelques points de la théorie des probabilités, Ann. Inst. H. Poincaré, 1930) und A. Kolmogoroff (Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann.104 (1931), S. 415.
[2] Atti del Congr. Intern. dei Matem. Bologna 1928, B. V, S. 133-139; insbesondere S. 138.
[3] Als Wahrscheinlichkeit einer die Punkte des Phasenraums kennzeichnenden Eigenschaft ist dabei das relative Lebesguesche Maß der Menge derjenigen Punkte aufzufassen, die diese Eigenschaft aufweisen. Näheres darüber siehe in § 5.
[4] C. R. Acad. Sci. Paris185, 169 (1927).
[5] Rend. Circ. Mat. Palermo56 (1932).
[6] Giorn. Ist. Ital. Attuari3 (1932), S. 267; Rec. math. Soc. Math. Moscou40 (1933), S. 124.
[7] Vorlesungen über Fouriersche Integrale, Leipzig 1932, S. 76; Satz 23.
[8] Den analogen Satz für diskrete Reihen zufälliger. Variablen habe ich mittels einer ganz anderen Methode früher bewiesen [Giorn. Ist. Ital. Attuari3 (1932), 267].
[9] Vlg. 6). Giorn. Ist. Ital. Attuari3 (1932), S. 267.
[10] Vgl. insbesondere J. v. Neumann, Proof of the quasiergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.18 (1932), 70; B. O. Koopman and J. v. Neumann, Dynamical systems of continuous spectra, ibid. Fund. Math.18 (1932), 255. · Zbl 0004.31004
[11] Proc. Nat. Acad. Sci. USA,19 (1933), 567.
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