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Probability and statistics. (English) JFM 60.0467.02
Um den Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie, z. B. dem Gesetz der großen Zahlen, die einfachste und durchsichtigste Form zu geben, führt man am besten einen Raum mit abzählbar vielen Dimensionen ein. Es bedeute zunächst \(m(A)\) eine für alle halboffenen Intervalle \(A=(a,b\rangle \) der \(x\)-Achse erklärte nichtnegative und additive Mengefunktion, \(m(-\infty,\infty )=1\). \(m(A)\) kann z. B. als Wahrscheinlichkeit dafür betrachtet werden, daß die zufällige Größe \(X\) in \(A\) liegt. Nunmehr betrachte man den Raum \(\varOmega (m)=\varOmega \) aller unendlichen Folgen \[ x_1,x_2,x_3,\dots \tag{1} \] von Punkten der \(x\)-Achse. In \(\varOmega \) kann ein Volummaß \(\mu \) derart eingeführt werden, daß die Teilmenge \[ x_1\subset A_1,x_2\subset A_2,\dots \] (die \(A_i\) sind irgendwelche Intervalle auf der \(x\)-Achse) von \(\varOmega \) das Maß\^^M \[ \mu ={ \prod \limits ^\infty _1m}(A_i) \] hat. \(\mu \) läßt sich eindeutig zu einem Lebesgueschen Maß auf \(\varOmega \) ausdehnen. Das Gesetz der großen Zahlen lautet dann: Ist \(f(x)\) summierbar im Sinne von \(m\), so gilt bis auf eine \(\mu \)-Nullmenge von Folgen (1) \[ \lim _{n=\infty }\frac 1n{ \sum \limits ^n_1}f(x_i)={ \int }f\;dm. \] Der obige Raum ist in diesem Zusammenhang von Khintchine betrachtet (Zu Birkhoffs Lösung des Ergodenproblems, Math. Ann. 107 (1932), 485-488; F. d. M. 58), und der Beweis dieses Theorems ist vom Referenten (Complete transitivity and the ergodic principle, Proceedings USA Academy 18 (1932), 204-209; F. d. M. 58) gegeben worden (als Spezialfall des Ergodensatzes). Die Arbeit des Verf. enthält darüber hinaus noch Verschärfungen. Im zweiten Teile macht Verf. enthält darüber hinaus noch Ver schärfungen. Im zweiten Teile macht Verf. Anwendungen auf das statistische Problem, aus einer großen Zahl von Werten einer zufälligen Größe auf ihre Verteilung zu schließen. Die “method of maximum likelihood” von R. A. Fisher, die sich auf den Fall bezieht, wo die Verteilung einen unbekannten Parameter enthält, dessen Wert man bestimmen will, wird mathematisch gerechtfertigt.

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