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Sur l’allure asymptotique des densités itérées dans le problème des probabilités “en chaîne”. (French) JFM 60.0468.01

Es bezeichne \(P^{(n)}(E,F)\geqq 0\) die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, daß ein sprunghaft veränderliches System in \(n\) Sprüngen aus dem Zustand \(E\) in den Zustand \(F\) übergehe. \(E\) und \(F\) werden als Punkte in einem Gebiet \(V\) des \(k\)-dimensionalen Raumes gedeutet. Es gilt \[ P^{(m+n)}(E,F)={ \int \limits _V}P^{(m)}(E,G)P^{(n)}(G,F)dG, \;{ \int \limits _V}P^{(n)}(E,F)dF=1. \] Verf. überträgt Ergebnisse, die er in einer früheren Arbeit (Annali Pisa (2) 2 (1933), 131-164; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 507) für den Fall von Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengestellt und ergänzt hatte, auf den Fall von Wahrscheinlichkeitsdichten. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Untersuchung der Eigenwerte vom Betrage 1 sowie der zugehörigen Hauptfuktionen der Integralgleichung \[ \varphi (E)=c{ \int \limits _V}p(E,F)\varphi (F)dF \] mit dem unsymmetrischen Kern \(p(E,F)\equiv P^{(1)}(E,F)\). Die \(P^{(n)}(E,F)\) sind dann die iterierten Kerne. Vorausgesetzt wird, daß \(V\) beschränkt ist, und daß sämtliche Dichten \(P^{(n)}(E,F)\) von einem gewissen Index an eine obere Schranke haben, nicht aber, daß sie stetig sind. Alle Eigenwerte der Integralgleichung sind vom Betrage \(\geqq 1\). Es gibt eine binomische Gleichung \(\lambda ^N-1=0\), der sämtliche Eigenwerte vom Betrag 1 genügen. Es folgen Sätze über die Menge derjenigen Punkte \(\varphi (E)\) in der komplexen Ebene, für die der Absolutbetrag \(|\varphi (E)|\) einer (zu einem Eigenwert vom Absolutbetrag 1 gehörigen) Hauptfunktion \(\varphi (E)\) sein Maximum annimt, sowie über die Menge der zugehörigen Punkte \(E\).
Schließlich werden unter Berufung auf eine weitere Arbeit des Verf. (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 313) ohne Beweise Sätze über das asymptotische Verhalten der iterierten Dichten \(P^{(n)}(E,F)\) gegeben. Diese konvergieren immer im Cesàroschen Sinne gegen eine Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varPi (E,F)\), und zwar gleichmäßig in \(V\). Der verallgemeinerte Limes ist gleich dem Hauptkern von \(p(E,F)\) zum Eigenwert \(+1\). Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür gegeben, daß \(\varPi (E,F)\) vom Anfangszustand unabhängig ist. Die \(P^{(n)}(E,F)\) konvergieren dann und nur dann im gewöhnlichen Sinne, wenn \(+1\) der einzige Eigenwert vom Betrag \(1\) ist.
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Full Text: DOI Numdam EuDML