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Über das Warteproblem. (German) JFM 60.0472.01
Vor einer Gruppe von \(s\) Schaltern mögen immer wieder innerhalb eines Zeitintervalls \(T\) \(n\) Personen regellos eintreffen und nach eventuellem Warten in der Reihenfolge ihres Eintreffens an einem gerade freigewordenen Schalter abgefertigt werden. Die gegebene Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person in einer kleineren Zeit als \(t\) abgefertigt wird, sei \(f(t)\) (also von 0 nach 1 monoton wachsend), wobei die Abfertigungszeit zwischen zwei festen Grenzen \(t'\) und \(t''\) beschränkt wird. Gefragt wird nach der Wahrscheinlichkeit \(\varrho (t)\) dafür, daß die Wartezeit einer Person \(\leqq t\) sei. Die Zeiteinheit wird übrigens so normiert, daß \(\int \limits _{t'}^{t''}t\) \(df=1\) ist.
Zunächst wird unter Benutzung komplexer verallgemeinerter Fourierintegrale eine Integraldarstellung angegeben für die Wahrscheinlichkeit \(\bar {\mathbf s}(t-\tau _m)\), daß\^^Mdie Wartezeit der \(m\)-ten Person \(\leqq t\) ist. In diese Integraldarstellung gehen gewisse durch komplizierte Rekursionsformeln bestimmte Funktionen \(a_{\mu \nu }^{\lambda }\) ein. Um diese Rekursionen zu vermeiden, werden “erzeugende Funktionen” gewisser Verbindungen dieser \(a_{\mu \nu }^{\lambda }\) eingeführt, mit deren Hilfe sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit \[ \varrho (t)=\frac 1n{ \sum \limits _{m=1}^n}\bar {\mathbf s}(t-\tau _m) \] als dreifaches Integral im Komplexen schreiben läßt. Dabei genügen diese erzeugenden Funktionen zwei Systemen von je \(s\) simultanen linearen Integralgleichungen im Komplexen (an Stelle der früheren Rekursionsformeln).
Im zweiten Teile der Arbeit werden diese Integralgleichungen zunächst allgemein für den Fall \(s=1\) und dann für \(s>1\) unter bestimmten Annahmen über die Ausgangswahrscheinlichkeit \(f(t)\), insbesondere über die Laplacetransformierte \[ \varepsilon (z)={ \int \limits _{t'}^{t''}}e^{tz}df(t), \] aufgelöst, so daß für diese speziellen Fälle das gesuchte \(\varrho (t)\) als dreifaches komplexes Integral über einen explicite bekannten Integranden erscheint. Solche behandelten Fälle sind: \(\varepsilon (z)=\sum \limits _{\nu =1}^Na_{\nu }e^{\nu bz}\) (das bedeutet das Bestehen nur endlich vieler kommensurabler Abfertigungszeiten); der Fall \(N=1\) wird besonders ausführlich behandelt. Schließlich noch der Fall eines rationalen \(\varepsilon (z)\); als hierhergehörender Sonderfall wird ausführlich behandelt der Fall \[ \varepsilon (z)=\frac 1{1-z},\quad \text{d. h. }f(t)=1-e^{-t}. \] Insbesondere wird in diesen Beispielen noch der Grenzübergang \(n\rightarrow \infty \) vollzogen.
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References:
[1] Vgl. z. B. E. C. Molina, Application of the theory of probability to telephone trunking problems ..., Bell Syst. Techn. Journ.6 (1927), S. 461-494, wo jedoch dem aus (95) f?r? folgenden Ausdrucke irrt?mlich f?r beliebigesf(t) Geltung zugesprochen wird.
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