On the polynomial expressions for the number of ways of coloring a map. (English) JFM 60.0501.06

Birkhoff, G. D.

Annali Pisa (2) 3, 85-103 (1934).

Das Polynom \(n\)-ten Grades \(P_n(\lambda )\), dessen Wert gleich der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten ist, die in vorgegebener Weise in \(n\) Gebiete eingeteilte Kugelfläche mit \(\lambda \) verschiedenen Farben so zu bemalen, daßnie zwei gleichfarbige Gebiete längs einer Strecke aneinandergrenzen, wird hinsichtlich seines Wertebereichs und der Wurzeln von \(P_n(\lambda )=0\) untersucht; das Vierfarbenproblem besteht dabei darin, ob \(\lambda =4\) eine Wurzel ist oder nicht; seiner Lösung kommt man hier nur wenig näher.
Jede solche Gebietseinteilung (G. T.) läßt sich in eine “maximale” verwendeln mit der Höchstzahl \((3n-6)\) von Paaren benachbarter Gebiete, indem außer den bisher benachbarten Gebieten noch weitere zu benachbarten gemacht werden. Die notwendige und hinreichende Bedingung für maximale G. T. ist, daßjedes (abgeschlossene) Gebiet für sich und jedes benachbarte Paar einfach zusammenhängend ist und in jedem Punkt höchstens drei Gebiete zusammenstoßen. Für maximale G. T. und nur für diese ist im zugehörigen \(P_n(\lambda )(6-3n)\) der Koeffizient von \(\lambda ^{n-1}\).
Für nicht-maximale G. T. ist \(P_n(\lambda )=P_n^{*}(\lambda )+\sum \limits _ip_{n_i}(\lambda )\) \((n_i<n)\), wobei \(P_n^{*}(\lambda )\) und \(P_{n_i}(\lambda )\) zu maximalen G. T. gehören.
Eine G. T. heißt “irreduzibel”, wenn jedes (abgeschlossene) Gebiet für sich, jedes benachbarte Paar und jedes Tripel gegenseitig benachbarter Gebiete einfach zusammenhängend ist. Die zu reduziblen G. T. gehörigen Polynome lassen sich darstellen als Produkte von zu irreduziblen G. T. gehörigen Polynomen. Wenn in jedem Punkt höchstens drei Gebiete zusammenstoßen, muß1, 2 oder 3 als mehrfache Wurzel von \(P_n(\lambda )=0\) auftreten, falls die zugehörige G. T. reduzibel ist. Das Auftreten der mehrfachen Wurzel 1 oder 2 ist auch eine hinreichende Bedingung dafür.
Null ist stets einfache Wurzel; negative Wurzeln können nicht auftreten; bei maximaler G. T. außer 0, 1 und 2 keine reellen Wurzeln \(\leqq 2\) und \(\geqq 5\), und 3 nur, wenn mindestens ein Gebiet mit einer ungeraden Anzahl benachbarter Gebiete vorkommt.
Ist die G. T. zugleich maximal und irreduzibel, so können nicht alle Wurzeln reell sein.
Für \(2\leqq \lambda \leqq 5\) ist \(\bigg | \dfrac {P_n(\lambda )}{\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)} \bigg | \leqq 4,5^{n-3}\), was sich für die ganzzahligen Werte von \(\lambda \) noch weiter einschränken läßt.
Auch für \(\lambda \geqq 5\) und \(\lambda \leqq 2\) werden (von \(\lambda \) und \(n\) abhängige) obere Grenzen für \(| P_n(\lambda )| \) gegeben.

Reviewer: Künneth, H., Prof. (Erlangen)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.