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Introduction to general topology. (English) JFM 60.0502.01

Translated by C. C. Krieger. X+238 p. Toronto, The University of Toronto Press (1934).
Das vorliegende Buch ist die Übersetzung des zweiten Teils eines in polnischer Sprache veröffentlichten zweibändigen Werkes über Mengenlehre (Zarys teorji mnogsci, II, Warschau 1928), dessen erster Teil bereits unter dem Titel “Leçons sur les nombres transfinis” (1928; F. d. M. 54, 87 (JFM 54.0087.*)) einem größeren Leserkreis zugänglich gemacht worden ist. Es enthält in sechs von insgesamt sieben Kapiteln eine axiomatische Einführung der wichtigsten in der Topologie vorkommenden Räume, die durch schrittweise Verschärfung des Axiomensystems und sorgfältige Scheidung der bewiesenen Sätze nach den dazu notwendigen Axiomen sehr übersichtlich gestaltet ist. Das siebente Kapitel behandelt, mehr ins einzelne gehend, die Theorie der Punktmengen in solchen metrischen Räumen, in denen der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt. - Die Übersetzerin hat in einem Anhang die für das Verständnis des Buches notwendigen Grundbegriffe und Sätze über transfinite Zahlen zusammengestellt. Als einen kleinen Mangel mag man es empfinden, daßdie Übersetzung zuweilen in der Terminologie von der gewohnten Ausdrucksweise abweicht.
Inhalt: Als Elemente für den axiomatischen Aufbau verwendet Verf. neben den Punkten des Raumes noch die offenen Mengen, zunächst nur mit den drei Forderungen: Die leere Menge, der ganze Raum, die Vereinigungsmenge eines jeden Systems offener Mengen sind wieder offen (Axiom I-III, Kap. I); sie reichen natürlich aus, um die wichtigsten Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen, Stetigkeit von Abbildungen und Homöomorphie einzuführen. Im zweiten Kapitel wird dann ein Trennungsaxiom (IV) - Existenz einer offenen Menge, die von zwei gegebenen Punkten den einen enthält, den anderen nicht - und die forderung (V): Der Durchschnitt zweier offener Mengen ist offen, hinzugefügt. Der Cantorsche Durchschnittssatz und der Borelsche Überdeckungssatz sind in dieser Raumklasse erfüllt, die mit den “classes \((H)\)” oder “espaces accessibles” Fréchets zusammenfällt und (als echter Teil) der Gesamtheit der Kuratowskisschen Räume angehört (Kuratowski, 1922; F. d. M. 48, 210 (JFM 48.0210.*)). Das zweite Abzählbarkeitsaxiom (VI) führt in Kap. III zu den bekannten Sätzen über die Struktur der Punktmengen (Satz von Cantor-Bendixson). In Kap. IV werden durch Verschärfung des Trennungsaxioms zur Hausdorffschen Fassung \((\text{IV}_a)\) die topologischen Räume eingeführt. Die Regularitätsbedingung (VII) des Kap. V führt zu den normalen Räumen, für die das Urisohnsche Lemma als Vorbereitung für den Urisohnschen Einbettungssatz bewiesen wird. Dieser Satz bildet das Hauptergebnis des folgenden Kapitels über metrische Räume. - Das letzte Kapitel hat die Überschrift “Metrische Räume, in denen beschränkte Mengen kompakt sind”. Es beginnt mit dem Satz von Boltzano-Weierstraß und dem Cauchyschen Konvergenzkriterium; es folgen Sätze über Erweiterung stetiger und topologischer Abbildungen (z. B. Satz von Lavrentieff), dann borelsche und - als Hauptgegenstand dieses Kapitels - Suslinschen Mengen, jeweils unter besonderer Berücksichtigung der topologischen Invarianzeigenschaften.