Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. (German) JFM 60.0532.03

Kirszbraun, M. D.

Fundamenta 22, 77-108 (1934).

Verf. betrachtet in metrischen Räumen zusammenziehende Transformationen, d. h. Transformationen, die den Abstand eines Punktepaares nicht vergrößern, \[ \varrho (f(x), f(y))\leqq \varrho (x,y), \] ferner Lipschitzsche Zusammenziehungen \[ \varrho (f(x), f(y))\leqq \mu \varrho (x,y) \] \((\mu \) =const). \(\lambda \)-Konzentrationspunkt heißt ein Punkt \(p\), der für alle \(x\) \[ \varrho (f(x), p)\leqq \lambda \varrho (x,p) \] erfüllt.
Verf. beweist, daß man jede auf einer Teilmenge eines euklidischen Raumes definierte zusammenziehende Transformation zu einer zusammenziehenden Transformation des ganzen Raumes fortsetzen kann; ferner das Entsprechende für \(\mu \)-Lipschitz-Zusammenziehungen. Weiter beweist Verf. einen mit dem Browerschen Fixpunktsatz eng zusammenhängenden Satz: Eine Zusammenziehung, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums auf eine beschränkte Menge abbildet, besitzt mindestens einen Konzentrationspunkt; das Entsprechende gilt bei den \(\mu \)-Lipschitz-Zusammenziehungen.

Reviewer: Freudental, H., Dr. (Amsterdam)