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Les espaces de Finsler. (French) JFM 60.0648.04

Actualités scient. et industr. 1934, Nr. 79, 40 p (1934).
Unter einem Finslerschen Raum versteht man eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Maßbestimmung, bei der das Bogenelement eine beliebige Funktion \(L(x^1,x^2,\dots,x^n; dx^1,dx^2,\dots,dx^n)\equiv L(x,dx)\) der Koordinaten eines Punktes \((x)\) und ihrer Differentiale ist, positiv homogen von erster Ordnung in den Differentialen.
Verf. faßt den Finslerschen Raum nicht als Mannigfaltigkeit von Punkten, sondern als Mannigfaltigkeit von Linienelementen \((x,x')\) auf. Den Ausgangspunkt seiner Theorie bildet der Begriff der euklidisch zusammenhängenden Mannigfaltigkeit von Linienelementen. Eine solche liegt vor, wenn erstens in der Umgebung jedes Linienelementes \((x,x')\) eine Maßbestimmung \(g_{ik}(x,x')dx^idx^k\) existiert, durch welche die quadrierte Entfernung des “Zentrums” \((x)\) des Linienelementes \((x,x')\) vom Zentrum \((x+dx)\) eines beliebigen Nachbarelementes definiert wird und damit auch die quadrierte Länge \(g_{ik}(x,x')X^iX^k\) jedes Vektors \((X)\), dessen “Stützelement” das Linienelement \((x,x')\) ist; und wenn zweitens das kovariante Differential \[ DX^i=dX^i+\varGamma _{kh}^i(x,x')X^kdx^h+C_{kh}^i(x,x')X^kdx'{}^h \] eines beliebigen variablen Vektors \((X)\) gegeben ist, und zwar so, daßdie Länge des Vektors bei paralleler Übertragung \((DX^i=0)\) ungeändert bleibt. Die \(g_{ik},\varGamma _{kh}^i\) sind dabei positiv homogen von nullter, die \(C_{kh}^i\) von \((-1)\)-ter Ordnung in den \(x'{}^i\).
Durch fünf invariante Forderungen wird nun erreicht, daßdiese Funktionen eindeutig durch die Funktion \(L(x,x')\) bestimmt sind. Außer den \(\varGamma _{kh}^i\) spielen noch, z. B. bei der kovarianten Differentiation, die Komponenten \(\varGamma _{kh}^*i(x,x')\) der besonderen Parallelübertragung eine Rolle, bei welcher das Stützelement des übertragenen Vektors parallel mitgeführt wird.
Die wichtigsten Tensoren, die auf dieser Stufe auftreten, sind: der Einheitsvektor des Linienelementes \[ l^i=\frac {x'{}^i}{L(x,x')}, \] der Maßtensor \[ g_{ij}=\frac 12\frac {\partial ^2(L^2)}{\partial x'{}^i\partial x'{}^j} \] und der Torsionstensor \[ A_{ijk}=\frac 14\frac {\partial ^3(L^2)}{\partial x'{}^i\partial x'{}^j\partial x'{}^k}. \] Vermöge der beiden ersten wird der Winkel \(d\varphi \) zweier unendlich benachbarter Linienelemente mit demselben Zentrum definiert: \[ d\varphi ^2=g_{ij}dl^idl^j. \] Dieser Winkelbegriff ist die Verallgemeinerung eines für \(n=2\) von G. Landsberg aufgestellten (1908; F. d. M. 39, 439 (JFM 39.0439.*)).
Verf. betrachtet hierauf, zumeist mit Beschränkung auf den Fall \(n=3\), Kurven und Hyperflächen in Finslerschen Räumen. Die Grundformeln der Kurventheorie sind schon von J. H. Taylor (1925; F. d. M. 51, 574 (JFM 51.0574.*)) fúr beliebiges \(n\) angegeben worden. Die Flächentheorie des dreidimensionalen Finslerschen Raumes wird auf zwei verschiedene Weisen entwickelt: (1) indem die Fläche als Ort der sie tangierenden Linienelemente aufgefaßt und (2) indem sie als Transversalfläche eines Feldes von Extremalen angesehen wird. Ferner wird gezeigt, daßein \(n\)-dimensionaler Finslerscher Raum auf einer Hyperfläche \(x^n=0\) einen euklidischen Zusammenhang induziert, der bei einem Nicht-Riemannschen Raum verschieden ist von dem Zusammenhang, welcher der Funktion \(L(x^1,x^2,\dots,x^{n-1},0;dx^1,dx^2,\dots,dx^{n-1},0)\) entspricht.
Sodann geht Verf. auf den Zusammenhang der vorliegenden Theorie mit der von ihm früher (Les espaces métriques fondés sur la notion d’aire, Actualités scient. et industr. 1933, Nr. 72;F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) aufgestellten Theorie jener Mannigfaltigkeiten ein, deren Geometrie auf dem Begriff des \((n-1)\)-dimensionalen Inhalts eines Hyperflächenstückes beruht. Die Finslerschen Räume, für die \(g^{ij}A_{ijk}=0\) ist, sind besondere Mannigfaltigkeiten dieser Art.
In den letzten Abschnitten wird die Krümmungstheorie der Finslerschen Räume entwickelt. Ein Finslerscher Raum besitzt eine Torsion, die durch den Tensor \(A_{ikh}\) charakterisiert ist, und drei Krümmungstensoren, von denen die beiden ersten (ebenso wie der Torsionstensor) in Riemannschen Räumen verschwinden. Zwischen diesen Tensoren bestehen Beziehungen, die Verallgemeinerungen der Bianchischen Identitäten sind. Das vollständige System der Tensoren des Finslerschen Raumes wird erhalten, indem man von den Tensoren \(l_i,g_{ij},A_{ijk},R_{ijkh}\) (dritter Krümmungstensor) ausgeht und auf sie die Operationen der Multiplikation und kovarianten Ableitung anwendet. Zum Schlusse werden noch die verschiedenen invariant gekennzeichneten besonderen Arten von Finslerschen Räumen besprochen und die schon vom Referenten (1928; F. d. M. 54, 760 (JFM 54.0760.*)) aufgestellten Differentialgleichungen der geodätischen Abweichung im Finslerschen Raum auf eine neue Weise hergeleitet.