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Essai sur les mouvements plans d’une liquide visqueux que limitent des parois. (French) JFM 60.0727.01
Nachdem Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit die Strömung in der unendlichen Ebene behandelt hat, studiert er hier die Strömung in einem ebenen konvexen Bereich mit überall endlichem Krümmungsradius. Die Resultate sind ähnlich, die Methoden etwas anders, elementarer. Zuerst wird eine Strömung in der Halbebene angegeben, die am Rande verschwindet, unendlich langsam ist und sich aus zwei Teilen zusammensetzt, deren einer der Wärmeleitungsgleichung genügt, während der andere ein Potential hat. Außerdem ist sie kräftefrei. Mit deren Hilfe kann für den konvexen Bereich unter Benutzung der Resultate von Oseen die Lösung des Prolems sichergestellt werden: kräftefrei, unendlich langsam, am Rande Null, beliebiger aber möglicher Anfangszustand. Zwischendurch noch Lösung des Problems: kräftefrei, unendlich langsam, beliebige Randbedingungen, Anfangszustand Null. Erwähnenswert ist, daß hier der Grenzübergang zu verschwindender Zähigkeit gelingt: Es resultiert die Potentialbewegung, die zu den Normalgeschwindigkeiten gehört, während die Tangentialgeschwindigkeiten andere werden müssen. Die Lösung gelingt so, daß die erstgenannte Partikularlösung immer für eine Halbebene gebraucht wird, die das Gebiet berührt; man hat dann noch eine Integralgleichung zu lösen, was grundsätzlich möglich ist.
Indem nun die quadratischen Glieder auf die rechte Seite geschafft werden, gelingt durch ein Verfahren der schrittweisen Verbesserung die Lösung des Problems der kräftefreien, schnellen Bewegung bei beliebigem Anfangszustand und den Randwerten Null. Bei regulären Anfangsbedingungen gibt es eine endliche Zeit lang eine reguläre Lösung und nur eine. Möglicherweise gibt es auch halbreguläre Lösungen, bei denen die Anfangsbedingungen nur in mittlerer Konvergenz angenähert werden. Genaue Formulierung siehe p. 402. Endlich wird auch hier der dem Verfasser eigentümliche Begriff der turbulenten Bewegung eingeführt. Es gibt sicher für alle Zeiten Lösungen, die bis auf eine Nullmenge auf der Zeitachse regulär sind und immer gewisse Integralgleichungen erfüllen, die im regulären Fall mit den Stokesschen Differentialgleichungen identisch sind, aber nicht so hohe Anforderungen an die Differenzierbarkeit stellen. Ob aber diese turbulenten Lösungen nicht doch überall regulär sind, bleibt auch hier offen.

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Full Text: EuDML