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Foundations of the new field theory. (English) JFM 60.0750.02
Für die Erklärung der Beziehungen zwischen Materie und elektromagnetischem Felde gibt es zwei mögliche Standpunkte. Vom unitarischen Standpunkt aus existiert nur das Feld und die Teilchen sind Singularitäten des Feldes. Vom dualistischen Standpunkt aus haben die Teilchen selbständige Existenz, sind die Quellen des Feldes und werden vom Felde beeinflußt. Ihr Charakteristikum ist ihre träge Masse. Gegenwärtig ist die dualistische Theorie die allgemein vorherrschende aus drei Gründen. Erstens sind bisher alle Versuche einer unitarischen Theorie fehlgeschlagen, zweitens hat die Relativitätstheorie die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse aus einem Transformationsgesetz abgeleitet, ohne ihr eine elektromagnetische Herkunft zuschreiben zu müssen, und drittens hat die Quantentheorie, die völlig auf der dualistischen Grundlage steht, in den letzten Jahren so außerordentliche Erfolge gehabt, daß dies den Ausschlag gegeben hat. Aber die Quantentheorie selbst gerät allmählich in Schwierigkeiten, die hauptsächlich damit zusammenhängen, daß die Selbstenergie einer Punktladung unendlich ist. In dem Versuch, eine neue unitarische Theorie zu entwerfen, stecken zwei verschiedene Gedankenansätze: die Entwicklung einer neuen Theorie des elektromagnetischen Feldes, die mit dieser Schwierigkeit aufräumt, und die Herleitung eines neuen quantenmechanischen Verfahrens. Diese Untersuchung ist ausschießlich der ersten Frage gewidmet.
In einer früheren Arbeit hat Born bereits eine neue Lagrangefunktion (Lf.) für das elektromagnetische Feld angegeben (On the quantum theory of the electromagnetic field, Proceedings Royal Soc. London, A. 143 (1933), 410-437; F. d. M. 59\(_{\text{II}}\)). Die klassische Lf. \[ L=\frac 12 (\mathbf {H}^2 -\mathbf {E}^2) \] sollte ersetzt werden durch \[ L=b^2 \left ( \sqrt {1+\frac 1{b^2} (\mathbf {H}^2 -\mathbf {E}^2)} \right ) -1. \] Hier entwickelt er aus der Forderung, daß das Wirkungsintegral eine Invariante sein soll, eine Lf., die allgemein relativistisch invariant ist und die Form \[ \mathfrak {L} =\sqrt {-g} (\sqrt {1+F-G^2} -1) \] hat; hier ist \(g=|g_{k\ell }|\) die Determinante des Fundamentaltensors, \[ F=\frac 12 f_{k\ell } f^{k\ell }, G^2 =\frac {|f^{k\ell }|}{-g}, \] \(f_{k\ell }\) der assymetrische Tensor des elektromagnetischen Feldes. Es läßt sich zeigen, daß diese neue Lf. sich von der früheren nur durch das Glied \(G^2\) unterscheidet, und da dieses von der vierten Ordnung in den \(f_{k\ell }\) ist, kann es bis in die unmittelbare Nähe der Singularitäten vernachlässigt werden. Welche von beiden sich dort besser bewährt, wird zu untersuchen sein. Im statischen Fall ist \(G=0\), und beide führen dann zu den gleichen Ergebnissen. Aus der neuen Lf. werden nun Feldgleichungen abgeleitet, und für diese werden die Erhaltungssätze bewiesen. Von der Lf. kann man zur Hamiltonfunktion übergehen. Bezeichnen \(\mathbf {B, H}\) und \(\mathbf {D, E}\) die räumlichen Vektoren des elektromagnetischen Feldes in den konventionellen Einheiten, so schreiben sich die neuen Feldgleichungen folgendermaßen: \[ \begin{gathered} L=\sqrt {1+F-G^2}-1, F=\frac 1{b^2} (\mathbf {B}^2 -\mathbf {E}^2), G=\frac 1{b^2} (\mathbf B \cdot \mathbf E),\\ \mathbf H=b^2 \frac {\partial L}{\partial \mathbf {B}} =\frac {\mathbf B -G\mathbf E}{\sqrt {1+F-G^2}}, \quad \mathbf D=b^2 \frac {\partial L}{\partial \mathbf E} =\frac {\mathbf E-G\mathbf B}{\sqrt {1+F-G^2}},\\ \mathbf B=\text{ rot } \mathbf A, \quad \mathbf E=-\frac 1{c} \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} -\text{ grad } \varphi, \\ \text{rot } \mathbf E+\frac 1{c} \frac {\partial \mathbf B}{\partial t} =0, \text{ div } \mathbf B=0,\\ \text{rot } \mathbf H- \frac 1{c} \frac {\partial \mathbf D}{\partial t} =0, \text{ div } \mathbf D=0. \end{gathered} \] Es wird nun die statische Lösung der Feldgleichungen für eine Punktladung gesucht. An Stelle des Coulombschen Potentials ergibt sich dann: \[ \varphi (r)=\frac {e}{r_0} f\left ( \frac {r}{r_0} \right ),\; f(x)=\int _x^{\infty } \frac {dy}{\sqrt {1+y^4}}; \quad r_0=\sqrt {\frac {e}{b}}. \] Dieses Potential ist überall endlich, hat bei Null ein Maximum, und zwar ist \[ \varphi (0)=1,8541 \frac {e}{r_0}. \] Das Elektron läßt sich in dieser Theorie ebensogut als punktförmige Quelle des Vektorfeldes \(\mathbf D\) auffassen wie als räumlich verteilte “freie Ladung”, die als die Quelle des \(\mathbf E\)-Feldes anzusehen ist.
Es werden nun \(r_0\) und \(b\) berechnet, und es ergibt sich für diese Größen: \[ r_0=2,28 \cdot 10^{-13} \text{cm},\quad b=9,18 \cdot 10^{15} ESE. \] Wegen dieser Größe von \(b\) gehen die Feldgleichungen der Verf. überall außerhalb des Elektrons in die Maxwellschen über, und erst dort, wo das Feld von der Größenordnung \(b\) und die Entfernung oder die Wellenlänge von der Größenordnung \(r_0\) ist, machen sich die Abweichungen bemerkbar. Für die Bewegung eines Elektrons in einem äußeren Felde läßt sich ein Gesetz nach Art der Lorentzschen Gleichung ableiten, wobei die Kraft das Integral über das Produkt aus dem Felde und der Dichte der freien Ladung ist. Für Wechselfelder kurzer Wellenlänge (d. h. von der Größenordnung des Elektronenradius) ergibt sich eine Abnahme der Kraft, und das stimmt gut zu Beobachtungen über das erstaunlich hohe Durchdringungsvermögen der kosmischen Strahlung.

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