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Subgroups of Abelian groups. (English) JFM 60.0893.03

Den vor allem von Chatelet (1925; F. d. M. 51, 115 (JFM 51.0115.02)-116) entwickelten Gedanken, beliebige Untergruppen \(\mathfrak {S}\) einer gegebenen endlichen abelschen Gruppe \(\mathfrak {G}\) durch Matrizen darzustellen, verfolgt Verf. in der Richtung weiter, daß unter den verschiedenen zu \(\mathfrak {S}\) gehörigen Matrizen Normalformen ausgezeichnet werden. Da eine zu \(\mathfrak {S}\) gehörige Matrix aus den Exponenten besteht, die bei der Darstellung von erzeugenden Elementen von \(\mathfrak {S}\) als Potenzprodukte unabhängiger Erzeugender von \(\mathfrak {G}\) auftreten, kommt die vom Verf. behandelte Aufgabe darauf hinaus, ein besonderes Erzeugendensystem für \(\mathfrak {S}\) auszuzeichnen, wobei die Erzeugenden von \(\mathfrak {G}\) entweder als fest angenommen werden oder ebenfalls geeignet gewählt werden können. Im ersten Fall wird zu jeder Untergruppe \(\mathfrak {S}\) eine eindeutig bestimmte standard matrix definiert, die umgekehrt unter Beachtung gewisser Größenbeschränkungen für ihre Elemente beliebig vorgeschrieben werden kann.
Im zweiten Fall gelangt Verf. zu einer eindeutig bestimmten characteristic matrix; da Abänderung der Erzeugenden von \(\mathfrak {G}\) gleichbedeutend mit Automorphismus von \(\mathfrak {G}\) ist, ist das Übereinstimmen der characteristic matrices notwendig und hinreichend dafür, daß zwei Untergruppen von \(\mathfrak {G}\) durch einen Automorphismus von \(\mathfrak {G}\) ineinander übergeführt werden können.
Verf. erhält auf diesem Wege bekannte und neue Sätze über die Anzahl von Untergruppen mit gewissen Eigenschaften und vervollständigt bei dieser Gelegenheit auch Formulierung und Beweis eines Satzes von Miller (1923; F. d. M. 49, 695 (JFM 49.0695.02)), der die Bestimmung der sämtlichen charakteristischen Untergruppen betrifft. Die Reziprozitätssätze über eineindeutige Zuordnung von isomorphen Unter- und Faktrogruppen ergeben sich unter Benutzung des Begriffs der “Orthogonalität” zweier Elemente von \(\mathfrak {G}\) auf neuem Wege.

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