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On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. (English) JFM 60.0902.02

Es werden die Gesetze einer kommutativen, nicht assoziativen Algebra untersucht, die eine endliche Basis hat, formal reell ist und überdies die Eigenschaft hat, daß {} \(a^\mu a^\nu = a^{\mu + \nu } \text{ und}\;(a^2b)a = a^2(ba).\) Algebren mit diesen beiden letzten Eigenschaften heißen \(r\)-Zahl-Algebren. Das erste Fundamentaltheorem besagt, daß diese beiden Bedingungen für die untersuchte Algebra äquivalent sind. Es wird die Struktur einer solchen Algebra untersucht und gezeigt, daß sie ein Einheitselement hat, und daß sich die Basis so wählen läßt, daß sie aus \(\gamma \) Idempotent und \(N\) anderen Elementen besteht, wobei \(N\) von der Form \((\gamma (\gamma - 1)/2) \cdot \chi \) ist, deren Multiplikationsgesetze sich leicht übersehen lassen. Sodann wird gezeigt, daß sich alle für die Quantentheorie erforderlichen Begriffsbildungen innerhalb dieser Algebra durchführen lassen, und im dritten Kapitel wird gezeigt, daß es nur eine leicht überschaubare Menge solcher irreduziblen \(r\)-Zahl-Algebren gibt, unter denen sich nur eine befindet, die nicht als eine solche Matrizenalgebra darstellbar ist, deren Multiplikationsregel als Quasimultiplikation aus einer assoziativen Multiplikation ableitbar ist (vgl. P. Jordan, 1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 93). (VII 3.)

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