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On generalized Riemann matrices. (English) JFM 60.0907.04

Auf einer Riemannschen Fläche vom Geschlecht \(p\) kann man jedem Element \(\alpha \) einer Basis der geschlossenen Kurven ein Differential erster Gattung \(dw_\alpha \) derart zuordnen, daß {} \(\mathfrak {R}(\int _\beta dw_\alpha ) = c_{\alpha \beta }\) die Schnittpunktzahl ist, die angibt, wie oft \(\alpha \) die Basiskurve \(\beta \) im positiven Sinn durchsetzt. Diese \(dw_\alpha \) bilden dann eine reelle Basis für die Differentiale erster Gattung. Die Matrix \(C\) der \(c_{\alpha \beta }\) ist schiefsymmetrisch, nicht entartet und hat ganzzahlige Koeffizienten. Die Matrix \(S\) der \(S_{\alpha \beta } = \operatorname{Im} (\int _\beta dw_\alpha )\) ist symmetrisch und gehört zu einer positiv definiten quadratischen Form. Die Matrix \(C^{-1} S = R = (r_{\alpha \beta })\) wird als die zugehörige Riemannsche Matrix bezeichnet. Multipliziert man \(dw_\alpha \) mit \(i\) und drückt dieses Differential durch die reelle Basis aus, so findet man gerade \(idw_\alpha = \sum _\beta r_{\beta \alpha } dw_\beta \). Eine \((\mu - \nu )\)-deutige Beziehung auf der Riemannschen Fläche, bei der einem Punkte \(P\) als \(\nu \) Punkte \(Q_1,Q_2,\cdots,Q_\nu \) zugeordnet sind, ordent eine Kurve \(\beta \) der Basis einen Zyklus \(\sum _\alpha a_{\alpha \beta } \cdot \alpha \) zu, der von\(Q_1,\cdots,Q_\nu \) zusammen durchlaufen wird, wenn \(P\) die Kurve \(\beta \) durchläuft. Es zeigt sich, daß die Matrix \(A\) mit \(R\) vertauschbar ist. Unter leichter Verallgemeinerung kommt man zu der folgenden algebraischen Fragestellung: Es sei \(\varrho \) ein Teilkörper eines Körpers \(P\), \(C\) sei eine nicht entartete schiefsymmetrische Matrix mit Koeffizienten in \(\varrho \); \(S\) sei eine symmetrische Matrix in \(P\), die die Eigenschaft hat, daß die zugehörige quadratische Fläche mit keinem linearen Teilraum (mit Koeffizienten in \(P\)) ein entartetes Schnittgebilde liefert. Die Matrix \(R = C^{-1} S\) werde dann als Riemannsche Matrix bezeichnet. Ist \(U\) eine nicht entartete Transformation in \(\varrho \), os ist es dabei zulässig, \(C, S, R\) durch \(U'CU, U'SU,U^{-1}RU \) zu ersetzen. Die Gesamtheit aller Matrizen \(A\), die mit \(R\) vertauschbar sind, bildet eine Algebra, die Multiplikationsalgebra von \(R\). Die Beziehung \(R^2 = - 1\), die im oben geschilderten funktionentheoretischen Fall gilt, kann im folgenden ganz außer acht gelassen werden. Jede reduzible Riemannsche Matrix ist vollständig reduzibel. Man erhält also eine vollständige Zerfällung in irreduzible - sogenannte “reine” - Riemannsche Matrizen. Die Multiplikationsalgebra ist halbeinfach. Im Fall einer reinen Riemannschen Matrix erhält man eine Divisionsalgebra \(\mathfrak {A}\), die einen Antiautomorphismus der Ordnung \(2\) besitzt. Geht man umgekehrt von einer derartigen Algebra aus, so kann man zugehörige Riemannsche Matrizen konstruieren. Allerdings kann deren Multiplikationsalgebra von \(\mathfrak {A}\) verschieden sein und zwar \(\mathfrak {A}\) umfassen, vermutlich aber nur für spezielle Werte von willkürlichen Parametern. Ist von jetzt an \(P\) wieder der Körper aller reellen Zahlen, \(\varrho \) ein algebraischer Körper, so ist das Zentrum \(k\) von \(P\) entweder ein total reeller Körper oder entsteht aus einem solchen durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus einer total negativen Zahl. Im ersten Fall ist wegen der Existenz eines Antiautomorphismus der Exponent von \(\mathfrak {A}\)entweder \(1\) oder \(2\), also entweder \(\mathfrak {A} = k\) oder \(\mathfrak {A}\) eine Quaternionenalgebra über \(k\). Damit erhält man zumindestens im Fall eines total reellen \(k\) eine genaus Lösung des Konstruktionsproblems der Riemannschen Matrizen. Zum Schluß wird noch die Beziehung zwischen der sonst üblichen Formulierung mit der hier gegebenen erläutert. Eine wesentliche Verallgemeinerung besteht in dem Fallenlassen der Beziehung \(R^2 = - 1\), die sich als überflüssig herausstellt.

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