Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (German) JFM 60.0913.01

Davenport, H.; Hasse, H.

J. f. M. 172, 151-182 (1934).

Im Anschluß an eine Arbeit von Hasse (1934; F. d. M.\(60_{\text{I}}\), 97-98) werden die beiden speziellen Typen zyklischer algebraischer Funktionenkörper \(Z = k(x,y)\) über einem Körper der Charakteristik \(p\) mit \(p^f = q\) Elementen untersucht, die durch eine der beiden Gleichungen \[ y^p - y = x^m, \text{ wo} \;m|q - 1, \tag{1} \]
\[ y^n = 1 - x^m, \text{ wo} \;m|q - 1 \text{ und} \;n|q - 1 \tag{2} \] erzeugt werden. Setzt man in beiden Fällen \(x^m = t\), so ist \(Z\) bizyklisch über \(k(t)\), und die Aufspaltung der Zetafunktion von \(Z\) in die zu \(Z/k(t)\) gehörigen \(L\)-Reihen liefert bereits die Zerlegung von \(\frac {\zeta (s)}{\zeta _0(s)} (\zeta _0(s)\) die Zetafunktion zum Geschlecht \(0\)) in Linearfaktoren in \(\frac {1}{q^s} = z\), und so erhält man die Nullstellen von \(\zeta (s)\) in \(z\) als gewisse Summen von Einheitswurzeln. Die im Fall (1) auftretenden Summen sind verallgemeinerte Gaußsche Summen, und ihr absoluter Betrag läßt sich elementar zu \(\sqrt q\) berechnen, wodurch das Analogen zur Riemannschen Vermutung für den Fall (1) bewiesen ist. Die im Fall (2) auftretenden Nullstellen lassen sich elementar auf die verallgemeinerten Gaußschen Summen zurückführen, wobei sich nun die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für (2) herausstellt. - Erweitert man \(k\) auf \(k^(r)\), den Körper von \(q^r\) Elementen, so spalten sich die zu \(Zk^(r)\) gehörigen \(L\)-Reihen noch weiter auf. Im Fall (1) ergibt sich daraus ein Zusammenhang zwischen den zu \(k\) und den zu \(k^(r)\) gehörigen Gaußschen Summen, und im Fall (2) erhält man gewisse multiplikative Relationen zwischen diesen Summen. - Diese beiden letzten Ergebnisse werden dann noch rein arithmetisch bewiesen, und zwar gelingt dies mit Hilfe der von Stickelberger im Anschluß an Kummer bewiesenen “arithmetischen Charakterisierung” dieser Summen die im Anhang vereinfacht dargestellt wird. - Ähnlich wie (2) läßt sich auch die allgemeinere Gleichung \(ax^m + bx^n = c\) behandeln. Die Nullstellen von \(\zeta (s)\) werden wieder durch die verallgemeinerten Gaußschen Summen dargestellt, und dabei bestätigt sich auch hier die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung. Die bestmögliche Abschätzung für die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades von \(Z\) und der damit zusammenhängenden Zahl der Lösungen von \(ax^m + bx^n = c\) in \(k\) sich leicht direkt herleiten. - Schließlich werden noch die beiden elliptischen Fälle \(y^2 = 1 - x^3 \text{ und} \;y^2 = 1 - x^4\) behandelt.

Reviewer: Reichardt, H., Dr. (Leipzig)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra.