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On a problem in the elementary theory of numbers. (English) JFM 60.0917.05
Grünwald und Lázar haben die Frage aufgeworfen, ob es möglich ist, eine unendliche Folge ganzer voneinander verschiedener Zahlen \(a_1,a_2,\cdots,\) anzugeben, derart daß die Summen je zwei dieser Zahlen \(a_i + a_j (i \neq j)\) sämtlich nur aus \(k\) vorgegebenen Primzahlen \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) zusammengesetzt sind. Sie konnten zeigen, daß dies nicht möglich ist, und benutzten zum Beweis den Satz von Pólya (1918; F. d. M. 46, 240 (JFM 46.0240.*)), daß wenn \(q_1 < q_2 < q_3 < \cdots \) die sämtlichen nur aus den Primzahlen \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) zusammengesetzten Zahlen, der Größe nach geordnet, bedeuten, \(q_{n+1} - q_n \rightarrow \infty \) geht. Verf. geben für diese Frage einen neuen ganz elementaren Beweis; sie zeigen genauer, daß die Summen von je zwei von \(N = 3\cdot 2^{k-1}\) ganzen Zahlen nicht sämtlich nur aus \(k\) vorgegebenen Primzahlen zusammengesetzt sein können. Dies liefert für die Anzahl \(\pi (n)\) der Primzahlen unterhalb \(n\) elementar die Abschätzung \[ 2^{\pi (n)} > \frac {n}{3}. \] Ferner wird gezeigt: Sind \(a_1 < a_2 < \cdots < a_{k+1} \text{ und} \;b_1 < b_2 < \cdots < b_r\) zwei Folgen ganzer Zahlen, so können die Summen \(a_i + b_j\) nicht sämtlich nur aus \(k\) vorgegebenen Primzahlen zusammengesetzt sein, falls \(b_r > a_{k+1}^k\) ist.

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