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Note on an arithmetical property of recurring series. (English) JFM 60.0919.04

Die Folge rationaler Zahlen \( U_0,U_1,\cdots \) genüge der Rekursionsformel \[ U_{n+3} = PU_{n+2} - QU_{n+1} \pm U_n (P,Q \text{ ganz und rational}). \] Siegel hat (1921; F. d. M. 48,329) mittels des Thueschen Satzes gezeigt, daß in der Folge \(U_n\) höchstens endlich viele verschwindende Glieder auftreten können, falls nicht alle \(U_n\) verschwinden und falls das zugeordnete Polynom \[ F(x) = x^3 - Px^2 + Qx \mp 1 \] von \((x \pm 1)(x^2 + 1) \text{ und}\;(x \pm 1)(x^2 \pm x' + 1)\) verschieden ist. Verf. gibt hierfür mittels der Sätze von Delaunay und Nagell über kubische diophantische Gleichungen einen neuen Beweis. Genauer ergibt sich, daß, wenn \(F(x)\) eine negative Diskriminante hat, abgesehen von den Anfangsgliedern \(U_0,u_1,U_2\) höchstens fünf verschwindende Glieder \(U_n\) auftreten können. (Am Anfang des Beweises ist “non-vanishing” durch “vanishing” zu ersetzen.) Ferner wird mittels des Thueschen Satzes gezeigt, daß, wenn die Folge rationaler Zahlen \(V_n\) der Rekursionsformel \[ V_{n+4} = PV_{n+3} - QV_{n+2} + RV_{n+1} \mp V_n (P,Q,R \text{ ganz und rational}) \] genügt, höchstens endlich viele Paare verschwindender Glieder \[ V_{n_1}, V_{n_1+a}; V_{n_2}, V_{n_2+a}; \cdots \] auftreten können, falls das zugeordnete Polynom vierten Grades und seine kubische Resolvente im Körper der rationalen Zahlen irreduzibel sind.

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