On the density of certain sequences of integers. (English) JFM 60.0936.03

Besicovitch, A. S.

Math. Ann. 110, 336-341 (1934).

Sei \(a_1,a_2,\ldots \) eine Folge ganzer positiver Zahlen. Die Anzahl der \(a_\nu \leq x\) heiße \(A(x).\) Unter der Dichte der Folge versteht man den \(\lim_{x\rightarrow \infty } \frac {A(x)}{x}\), falls er existiert; existiert er nicht, so nennt man den oberen bzw. den unteren \(\lim \) die obere bzw. untere Dichte der Folge. Sei \(n\) eine positive ganze Zahl. Man betrachte die Folge aller Multipla von \(n,n+1,\ldots,2n-1\) (oder: die Folge aller Zahlen, welche einen Teiler im Intervall \(<n,2n-1>\) besitzen); ihre Dichte heiße \(D(n)\). Verf. zeigt: \[ \lim _{n \rightarrow \infty } D(n) = 0, \tag{1} \] genauer: \[ D(2) + D(2^2) + \cdots + D(2^l) = o(l), \tag{2} \] woraus (1) unmittelbar folgt.
Mit Hilfe dieses Ergebnisses gelingt es Verf., die folgenden von Davenport bzw. Chowla im Anschluß an Untersuchungen über abundante Zahlen (vgl. H. M. Davenport [Sitzungsberichte Akad. Berlin 1933, 830–837 (1933; JFM 60.0146.02)] und S. Chowla [J. Indian Math. Soc. (2) 1, 41–44 (1934; JFM 60.0148.01)]) gestellten Fragen zu entscheiden:
Sei \(a_1,a_2,\ldots \) eine Folge positiver ganzer Zahlen, deren keine durch ein andere teilbar ist.
1. Ist die Dichte einer solchen Folge notwendig \(0\)?
2. Besitzt die Folge aller Multipla von \(a_1,a_2,\ldots \) notwendig eine Dichte?
Die Antwort lautet in beiden Fällen negativ.
Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, bilde man nämlich folgende Folge \(a_1,a_2,\ldots \): man wähle alle Zahlen eines Intervallls \((2^{i_1}, 2^{i_1 + 1} - 1)\), sodann alle Zahlen eines zweiten Intervalls \((2^{i_2}, 2^{i_2 + 1} - 1), (i_2 > i_1),\) welche durch keine der beraits gewählten Zahlen teilbar sind, alle Zahlen eines dritten Intervalls \((2^{i_3}, 2^{i_3 + 1} - 1) (i_3 > i_2),\) welche durch keine der bisher gewählten Zahlen teilbar sind, usf. Wählt man \(i_1\) genügend groß, \(i_2,i_3,\ldots \) genügend stark ansteigend, so kann man wegen (2) erreichen, daß die obere Dichte der gewählten Folge beliebig nahe bei \(\frac {1}{2}\) liegt (während die untere Dichte \(0\) ist), und daß die untere Dichte der Folge aller Multipla der gewählten Folge beliebig nahe bei \(0\), die obere beliebig nahe be \(\frac {1}{2}\) liegt.
Der Beweis von (2) wird mit Hilfe des Hardy-Ramanujanschen Satzes über die normale Anzahl von Teilern einer Zahl [The normal number of prime factors of a number \(n\), Collected papers of Srinivasa Ramanujan. Cambridge: Cambridge University Press (1927; JFM 53.0030.02), 261–275] geführt.

Reviewer: Behrend, F., Dr. (Zürich)

MSC:

11B05

Density, gaps, topology

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Analytische Zahlentheorie.

Keywords:

density; sequences of integers

Citations:

JFM 60.0146.02; JFM 60.0148.01; JFM 53.0030.02

References:

[1]	The proof of this lemma has been given by H. Davenport.