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Some points in the theory of trigonometric and power series. (English) JFM 60.0988.01

Die Arbeit zerfällt in sieben voneinander unabhängige Abschnitte:
I. on the character of oscillation of the partial sums of Fourier series: Verf. beschäftigt sich mit der Frage, was über die gegenseitige Lage des Oszillationsintervalls der Teilsummen \(s_n(x)\) der Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\) der Klasse \(L\) einerseits und des Funktionswerts \(f(x)\) andererseits (über die bekannte Tatsache, daß \(f(x)\) dem Oszillationsintervall angehört, hinaus) ausgesagt werden kann. Er erhält als ein in dieser Richtung liegendes Resultat: Genügen die Teilsummen \(s_n(x)\) einer Untergleichung \[ s_n(x) \geqq -\Phi (x)\quad (0 \leqq x \leqq 2\pi ;\;n = 0, 1, 2,\cdots ) \] mit einer Funktion \(\Phi (x) \geqq 0\) der Klasse \(L\), so gilt fast überall \[ f(x) = \frac {1}{2}\left (\overline \lim _{n \rightarrow \infty } s_n(x) + \underline \lim _{n \rightarrow \infty } s_n(x)\right ). \]
II. On the absolute convergence of Fourier series: Sind \(a_n,b_n\) die Fourierkoeffizienten einer schwankungsbeschränkten Funktion \(f(x)\), die einer Lipschitz-Bedingung der Ordnung \(\alpha \) genügt, so ist die Reihe \[ \sum _{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)^{\frac {k}{2}} \tag{*} \] für jedes \(k > \frac {2}{2 + \alpha }\) konvergent (Z. Waraszkiewicz, Bulletin Acad. Polonaise (A) 1929, 275-279; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 162). Das Hauptresultat des vorliegenden Abschnitts besagt nun, daß hier die Bedingung für \(k\) nicht verbessert werden kann, vielmehr gilt: Für jedes \(\alpha \) mit \(0 < \alpha < 1\) gibe es eine Funktion \(f(x)\) beschränkter Schwankung, die einer Lipschitz-Bedingung der Ordnung \(\alpha \) genügt, und für die (*) mit \( k = \frac {2}{2 + \alpha }\) divergiert.
III. On a theorem of Fejér and Riesz: Nach Fejér und Riesz (M. Z. 11 (1921), 305-314; F. d. M. 48, 327 (JFM 48.0327.*)) gilt für jede in \(|z| \leqq 1\) analytische Funktion \(f(z)\) die Ungleichung \[ \int _D |f(z)|^p |dz| \leqq \frac {1}{2} \int _C |f(z)|^p |dz|, \] wo \(C\) den Kreis \(|z| = 1, D\) einen beliebigen Durchmesser desselben bedeutet. Verf. gibt einen neuen Beweis dieses Satzes und zeigt dann weiter: Ist \(f(z) = u(z) + iv(z)\) in \(|z| \leqq 1\) analytisch, \(u(z), v(z)\) reell und \(v(0) = 0\), so gilt \[ \int _D |v(z)|^p |dz|\leqq A_p^p \int _C |u(z)|^p |dz|\quad (p \geqq 1), \] ebenso \[ \int _D \left |\frac {v(z)}{z}\right |^p |dz| \leqq B_p^p \int _C |u(z)|^p |dz|\quad (p \geqq 1), \] wo \(A_p, B_p\) nur von \(p\) abhängige Konstanten bedeuten, die in jedem Intervall \( 1 \leqq p \leqq p_0\) gleichmäßig beschränkt sind.
IV. On a theorem on conjugate functions: Der Abschnitt enthält einen neuen Beweis eines Satzes von Kolmogoroff (Fundamenta 11 (1928), 27-28; F. d. M. 54, 272 (JFM 54.0272.*)).
V. On an extreme case in the theory of fractional integrals: Hardy und Littlewood (M. Z. 27 (1928), 565-606; F. d. M. 54, 275 (JFM 54.0275.*)) haben gezeigt, daß für eine in einem Intervall \((a,b)\) mit \( -infty < a < b \leqq \infty \) zur Klasse \(L^p\) gehörige Funktion \(f(x)\) das zugehörige Integral gebrochener Ordnung \(\alpha \) zur Klasse \(L^q\) gehört, falls \[ p > 1,\;0 < \alpha < \frac {1}{p},\;\frac {1}{p} - \frac {1}{q} = \alpha. \] Der Satz gilt nicht mehr für \(p = l\). Die Untersuchung dieses Grenzfalles \(p=1\) bildet den Hauptgegenstand des vorliegenden Abschnitts, der überdies einen Beitrag zu dem Fall \(p = \frac {1}{\alpha }\) enthält.
Mit Rücksicht auf die Anwendungen in der Theorie der Fourierreihen legt Verf. seinen Betrachtungen nicht die Riemann-Liouvillesche, sondern die Weylsche Definition des Integrals gebrochener Ordnung zugrunde. Danach wird einer mit \(2\pi \) periodischen, integrablen Funktion \(f(x)\), deren über \((0, 2\pi )\) genommener Mittelwert verschwindet, als Integral der gebrochenen Ordnung \(\alpha \) zugeordnet: \[ f_\alpha (x) = \frac {1}{\Gamma (\alpha )} \int _{-\infty }^x (x-t)^{\alpha - 1} f(t)\,dt\quad (0 < \alpha < 1). \] Bezeichnet man ferner mit \(L^{1,k}\) die Klasse derjenigen unter den genannten Funktionen \(f(x)\), für die \(|f|(\log ^+|f|)^k\) integrabel ist, so lautet das Hauptergebnis: Gehört \(f(x)\) zur Klasse \(L^{1, 1-\alpha }\) mit \( 0 < \alpha < 1\), so gehört \(f_\alpha (x)\) zur Klasse \(L^\beta \) mit \( \beta = \frac {1}{1-\alpha }\); überdies gilt mit zwei von \(f\) unabhängigen Konstanten \(M\) und \(N\) die Beziehung \[ \left (\frac {1}{2\pi } \int _0^{2\pi } |f_\alpha |^\beta dx\right )^{\frac {1}{\beta }}\leqq M \int _0^{2\pi }|f|(\log ^+ |f|)^{1-\alpha }\,dx + N. \] Hieraus folgt für die Theorie der Fourierreihen: Ist \(f(x)\) eine Funktion der Klasse \(L^{1,\alpha }\) mit \(0 < \alpha \leqq 1\), und sind \(c_n\) die komplexen Fourierkoeffizienten von \(f(x)\), so gilt eine Ungleichung \[ \left (\sum _{n=1}^\infty n^{-1}|c_n|^{\frac {1}{\alpha }}\right )^\alpha < A_\alpha \int _0^{2\pi }|f|(\log ^+|f|)^\alpha dx + B_\alpha \] mit zwei nur von \(\alpha \) abhängigen Konstanten \(A_\alpha \) und \(B_\alpha \). Für \(\alpha > 1\) wird der Satz falsch.
VI. Some theorems on Fourier coefficients: In Verallgemeinerung zweier Sätze von Hardy und Littlewood (Journal L. M. S. 6 (1931), 3-9; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 315) wird bewiesen: Es sei \(\Phi _2(x), \Phi _3(x), \cdots \) ein in dem endlichen Intervall \((a,b)\) orthogonales und normiertes System gleichmäßig beschränkter Funktionen. Dann gilt:
(1) Sind \(c_2,c_3,\cdots \) die bezüglich des Systems \(\Phi _2(x),\Phi _3(x),\cdots \) genommenen Fourierkoeffizienten einer Funktion \(f(x)\), für die \(|f|(\log ^+|f|)^\alpha \) in \((a,b)\) mit einem \(\alpha > 0\) zur Klasse \(L\) gehört, so ist die Reihe \[ \sum \exp \left (\frac {-k}{|c_n|^{\frac {1}{\alpha }}}\right ) \] für jedes \(k > 0\) konvergent. Ist überdies \(\alpha \leqq 1\), so ist auch \[ \sum n^{-1} c_n^{\ast ^\frac {1}{\alpha }} \] konvergent, wo \(c_2^\ast, c_3^\ast,\cdots \) die aus \(|c_2|,|c_3|,\cdots \) dur Umordnung nach abnehmender Größe der Glieder entstehende Folge bedeutet.
(2) Ist für eine Folge \(c_2,c_3,\cdots \) die Reihe \[ \sum |c_n|(\log |c_n|^{-1})^{-\alpha } \] mit einem \(\alpha > 0\) konvergent, so ist \[ \sum _{n=2}^\infty c_n \Phi _n(x) \] die Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\), für die \(\exp (k|f|^{\frac {1}{\alpha }})\) für jedes \( k > 0\) zur Klasse \(L\) gehört. Ein analoger Satz gilt unter der Voraussetzung der Konvergenz von \(\sum n^{r-1} |c_n|^r\) mit \(r > 1\).
VII. On a theorem of Paley and Wiener: Der Abschnitt enthält einen neuen, einfachen Beweis eines Satzes von Paley und Wiener (Transactions A. M. S. 35 (1933), 348-355 (F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 421), insbes. 354-355).

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