Le funzioni monogene generalizzate definite mediante integrali doppi di Cauchy. (Italian) JFM 60.1005.06

Caccioppoli, R.

Rendiconti Seminario mat. Padova 5, 122-147 (1934).

Anknüpfend an. E. Borel (Leçons sur les fonctions monogènes, Paris 1917 (F. d. M. 46, 465 (JFM 46.0465.*)), insbes. 145-150), betrachtet Verf. Funktionen \(f(z)\), die durch ein über die volle Ebene erstrecktes, absolut konvergentes Cauchysches Doppelintegral \[ f(z) = \int \int \frac {\varphi (\xi, \eta )}{\zeta - z} d \xi d \eta \quad (z=x+iy, \zeta = \xi + i \eta ), \tag{1} \] wo \(\varphi (\xi, \eta )\) eine in der vollen Ebene stetige Funktion bedeutet, definiert werden. Nach Borel besitzt eine solche Funktion \(f(z)\) an jeder Stelle, an der \(\varphi \) verschwindet, eine eindeutig bestimmte Ableitung.
Ist nun \(E\) eine beliebige Punktmenge, so definiert jede zulässige, auf \(E\) verschwindende Funktion \(\varphi (\xi, \eta )\) eine Funktion \(f(z)\), die in den Punkten von \(E\) differenzierbar ist. Man erhält sogar analytische Funktionen \(f(z)\), wenn man nur Funktionen \(\varphi (\xi, \eta )\) in Betracht zieht, die in einem \(E\) enthaltenden Gebiet verschwinden. Dies legt die Frage nahe, on allgemein die Funktionen \(f(z)\), die zu den in \(E\) verschwindenden Funktionen \(\varphi (\xi, \eta )\) gehören, über \(E\) quasianalytisch (im Borelschen Sinne monogen) sind, d. h. ob zwei solche Funktionen in \(E\) übereinstimmen müssen, wenn sie in der Umgebung eines Punktes von \(E\) überstimmen. Für die Gesamtheit der genannten Funktionen \(f(z)\) trifft das nicht zu; wohl aber läßt sich unter passenden Voraussetzungen über \(E\) zeigen, daß man eine Klasse quasianalytischer Funktionen \(f(z)\) bekommt, wenn man nur auf \(E\) verschwindende Funktionen \(\varphi (\xi, \eta )\) in Betracht zieht, die bei Annäherung an \(E\) hinreichend stark gegen Null strben (ohne jedoch in einer Umgebung von \(E\) identisch verschwinden zu müssen, was auf den trivialen Fall der analytischen Funktionen zurückfḧren würde). Ein Ergebnis dieser Art hat E. Borel (vgl. l. c) für den Fall, daß \(E\) ein Geradenstück ist gewonnen. Verf. behandelt allgemeiner den Fall, daß ein beschränktes Kontinuum ist, und beweist dafür: Man erhält gewiß eine Klasse über \(E\) quasianalytischer Funktionen \(f(z)\), wenn man nur diejenigen auf \(E\) verschwindenden Funktionen \(\varphi (\xi, \eta )\) zuläßt, die die Beziehung \[ \log \log \frac {1}{| \varphi (\xi, \eta )|} \geq \varrho (\xi, \eta )^{-q} \quad \text{mit einem} \quad q> 2 \tag{2} \] für hinreichend kleines \(\varrho (\xi, \eta )\) erfüllen; dabei bedeutet \(\varrho (\xi, \eta )\) den Abstand des Punktes \((\xi, \eta )\) von \(E\).
Borel hat für den Fall des Geradenstücks dieselbe Bedingung mit \(q>1\) bewiesen. Verf. legt sich daher weiter die Frage vor, welche Eigenschaften des Kontinuums \(E\) eine Abschwächung der Voraussetzung \(q>2\) gestatten. Er beweist, daß an Stelle von \(q>2\) stets \(q>d\) treten darf, wenn \(d\) (\(=\) “ordine dimensionale” von \(E\)) die untere Grenze der Zahlen \(\delta \) bedeutet, für die das Maß \(A(\varrho )\) der Punkte \(P(\xi,\eta )\) mit \(\varrho (\xi, \eta ) < \varrho \) die Beziehung \[ \lim _{\varrho \to 0} \frac {A(\varrho )}{\varrho ^2} \varrho ^{\delta } = 0 \] erfüllt. Daraues folgt insbesondere, daß die Voraussetzung \(q>1\) genügt, wenn \(E\) ein rektifizierbares Kurvenstück ist; dieses Ergebnis enthält das Borelsche als Spezialfall. An einem Beispiel wird dagegen gezeigt, daß selbst im Falle des Geradenstücks die Bedingung (2) mit einem \(q<1\) nicht hinreicht, um den quasianalytischen Charakter der zugehörigen Funktionen \(f(z)\) zu sichern.
Die ganzen Resultate übertragen sich sinngemäß auf den Fall, daß das Kontinuum \(E\) nicht beschränkt ist, sowie auf Funktionen, die durch dem Integral (1) analoge Stieltjessche Integrale definiert sind.

Reviewer: Lösch, F., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kaptiel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

Citations:

JFM 46.0465.*