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Summation formulae and their relation to Dirichlet’s series. (English) JFM 60.1013.01

Im Jahre 1904 gab Voronoi folgende Formel (F. d. M. 35, 320 (JFM 35.0320.*)): \[ \frac {1}{2} \sum _{a < n \leq b} \tau (n) f(n) + \frac {1}{2} \sum _{a \leq n < b} \tau (n) f(n) = \int _a^b f(x) \delta (x) dx + \sum _{n=1}^{\infty } \tau (n) \int _a^b f(x) \alpha (nx) dx. \tag{1} \] Hier ist \(\tau (n)\) eine zahlentheoretische Funktion und \(f(x)\) eine in \(a \leq x \leq b\) stetige Funktion mit nur endlich vielen Maxima und Minima. Weiter sind \(\delta (x)\) und \(\alpha (x)\) analytische Funktionen, welche nur von der zahlentheoretischen Funktion \(\tau (x)\) (also nicht von \(f(x)\)) abhängen. Eienen vollständigen Beweis gab Voronoi nur für den Fall, wo \(\tau (n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) ist.
Verf. gibt (unter einigen voraussetzungen über die durch die Dirichletsche Reihe \[ \psi (s) = \sum \tau (n) n^{-s} \] dargestellte Funktion) für die rechte Seite von (1) folgenden Ausdruck: \[ \int _a^b f(x) dR (x) + \sum _{n=1}^{\infty } \frac {\tau (n)}{n} \int _a^b f(x) d \{ \alpha (nx) \}. \] Die hier auftretenden Stieltjes-Integrale können im allgemeinen Falle nicht durch Riemann- oder Lebesgue-Integrale ersetzt werden. Es ist weiter \(R(x)\) die Summe der Residuen der Funktion \[ s^{-1} \psi (s) x^s \] in einem gewissen Streifen, und es ist \[ \alpha (y) = \frac {1}{2 \pi i} \int _{-b-i \infty }^{-b + i \infty } \frac {\psi (s)}{\psi (1-s)} \frac {y^s}{s} ds \] (\(b\) ist eine positive Zahl, und es wird u. a. vorausgesetzt, daß \(\psi (s)\) bis zur Geraden \(\sigma = - b\) analytisch fortsetztbar ist). (III 8.)

Citations:

JFM 35.0320.*
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Full Text: EuDML