Le rôle des fonctions monogènes de M. Borel dans la théorie des séries de Dirichlet. (French) JFM 60.1014.02

Mandelbrojt, S.

Annales École norm. (3) 51, 373-397 (1934).

Es seien \[ f(s) = \sum _{n=1}^{\infty } a_n e^{- \lambda _n s} \quad \text{und} \quad g(s) = \sum _{m=1}^{\infty } b_m e^{-\mu _m s} \] gegebene Dirichletsche Reihen, und es sei \(S_f\) bzw. \(S_g\) die Menge der singulären Punkte von \(f\) bzw. \(g\). Es sei \(S_{fg}\) die Menge der Punkte, die man erhält, wenn man in \(\alpha + \beta \) für \(\alpha \) sämtliche Punkte von \(S_f\) und für \(\beta \) sämtliche Punkte von \(S_g\) einsetzt. \(\overline {S}_{fg}\) sei die abgeslossene Hülle von \(S_{fg}\). Weiter sei (\(r\) ganz \(\geq 1\)) \[ b_n^{(r)} = \sum _{\mu _m < \lambda _n} (\lambda _n - \mu _m)^r b_m \] und \[ F(s) = \sum _{n=1}^{\infty } a_n b_n^{(r)} e^{-\lambda _n s}. \] Verf. hat unter gewissen Annahmen in einer früheren Abhandlung (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 283) bewiesen, daß \(F(s)\) sicher fortsetzbar ist längs Kurven, welche keine Punkte von \(S_{fg}\) oder \(S_f\) enthalten (Verallgemeinerung eines bakannten Hadamardschen Satzes über Potenzreihen). Durch eine Beispiel zeigt Verf. jetzt, daß es vorkommen kann, daß die nicht zu \(S_{fg}\) gehörigen Punkte von \(\overline {S}_{fg}\) sämtlich singulär für \(F(s)\) sind. Als Hauptsatz zeigt er unter gewissen allgemeinen Bedingungen: Falls die nicht zu \(S_{fg}\) gehörigen Punkte von \(\overline {S}_{fg}\) singulär für \(F(s)\) sind, so kann man doch \(F(s)\) über diese Punkte hinaus fortsetzen im Sinne des Borelschen Begriffes der monogenen Funktion. Im Falle der Potenzreihen \((\lambda _n = \mu _n =n)\) kann dieser Fall nicht auftreten, weil dann \(S_{fg}\) abgeschlossen, d. h. \(S_{fg}\) mit \(\overline {S}_{fg}\) identisch ist.

Reviewer: Kloosterman, H. D., Dr. (Leiden)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kaptiel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.