Sulla distribuzione degli zeri delle trascendenti intere. (Italian) JFM 60.1018.02

Bernstein, V.

Giornale di Mat. 72, 99-124 (1934).

Verf. beweist einige Sätze über die Verteilung der Nullstellen ganzer Funktionen \(f(z)\) mittels bekannter Beziehungen zwischen dem Wachstum ganzer Funktionen \(F_{\varrho } (z)\) endlicher Ordnung \(\varrho \) und den Singularitäten ihrer Borelschen Transformierten. Die Verteilung der Nullstellen von \(f(z)\) \((f(0) \neq 0)\) ist gegeben durch die Verteilung der Pole von \(\frac {f' (z)}{f(z)}\) und letztere in gewisser Hinsicht durch den Wachstumsindikator der ganzen Funktion, definiert durch das Integral \[ F_{\varrho } (z) = \frac {1}{2 \pi i} \oint \frac {f'(\zeta )}{f(\zeta )} E_{\frac {1}{\varrho }} \left ( \frac {z}{\zeta } \right ) \frac {d \zeta }{\zeta }, \] wo über eine geschlossene Kurve integriert wird, die den Nullpunkt \(z=0\) von den Nullstellen der Funktion \(f(z)\) trennt, und \(E_{\frac {1}{\varrho }} (z)\) die Mittag-Lefflersche Funktion bedeutet. Das gestellte Problem wird hierdurch auf ein anderes, ebenfalls ungelöstes Problem zurückgeführt, nähmlich, aus den Entwicklungskoeffizienten einer ganzen Funktion ihren Wachstumsindikator zu bestimmen.

Reviewer: Pfluger, A., Prof. (Zug, Schweiz)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kaptiel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.