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Sur les équations fonctionnelles des polynomes à variables réelles. (French) JFM 60.1043.01
An zwei Beispielen wird eine Methode zur Auflösung von Funktionalgleichungen im reellen Gebiet für ganze rationale Funktionen vom ersten und vom zeiten Grade angegeben, die analog ist der Darstellung der Lösung von Funktionalgleichungen im komplexen Gebiet durch eine nach ganzen Potenzen der Veränderlichen fortschreitende Reihe.
Zunächst wird von der Funktionalgleichung der gleihförmigen Bewegung ausgegangen: \[ f(t+\tau ) - f(t) = f(t+\tau + \Theta ) - f(t+\Theta ), \] wobei \(t\), \(\tau \), \(\Theta \) beliebige reelle Zahlen, \(t\) die Zeit, \(s=f(t)\) den Weg bedeuten. Nimmt man als Anfangszeit \(t=0\) und wechselt die Bezeichnungen, so erhält man die Funktionalgleichung \[ f(x+y)-f(y)=f(x)-f(0), \] bei der \(x\) und \(y\) beliebige Zahlen sein können. In allen einzelnen verschiedenen Fällen, die betrachtet werden müssen, wird dann noch nachgewiesen, daß, falls man \(y_0=f(x_0)\) setzt, die lineare Beziehung \(y=y_0+k(x-x_0)\) gilt, bei der \(k\) eine Konstante bedeutet.
Die Parabel \(y=f(x)\) ist charakterisiert durch die Funktionalgleichung \[ \frac {f(x_1) - f(x_4)}{x_1-x_4} = \frac {f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}, \] in der die Größen \(x_{\nu }\) der Beschränkung \(x_1<x_2<x_3<x_4\) und \(\frac {x_1+x_4}{2} = \frac {x_2+x_3}{2}\) unterworfen sind. Setzt man nun \(y_{\nu } = f(x_{\nu })\), so folgt aus der Funktionalgleichung die Beziehung \(y_2-2y_3 +y_4 = y_1 - 2y_2 + y_3\), aus der man bestätigt, daß die Differenz \[ \Delta = f(a) - 2f(a+h) + f(a+2h) \] bei festem \(h\) für jedes beliebige \(a\) denselben Wert hat. Hieraus folgt nach längerer Rechnung, daß die beiden Ausdrücke \[ \frac {f(a) - 2f(a+h) + f(a+2h)}{h^2} \quad \text{und} \quad \frac {f(a') - 2f(a'+h') + f(a'+2h')}{h'{}^2} \] bei willkürlicher Wahl der Größen \(a\), \(a'\), \(h\) und \(h'\) einander gleich sind, und daß also der Ausdruck \(\frac {f(a) - 2f(a+h) + f(a+2h)}{h^2} =A\) unabhängig von \(a\) und \(h\) ist.
Setzt man jetzt in der Gleichung \[ y= y_0 + \frac {y-y_1}{x-x_1} (x-x_0) + \frac {1}{2} \frac {y_1 - 2y_0 +y}{(x-x_0)} (x-x_0)^2, \] \(2x_0=x_1 +x\), so wird sie zur Identität.
Die Koeffizienten dieser in \((x-x_0)\) quadratischen Gleichung können auf Grund der Funktionalgleichung für \(f\) als Spezialfälle von \(A\) angesehen werden und sind daher Konstanten, die mit \(a_0\) und \(b_0\) bezeichnet werden. Man erhält also als Gleichung der Parabel die quadratische Beziehung \[ y=y_0+a_0(x-x_0) + \frac {1}{2} b_0 (x-x_0)^2, \] die man hier aus der Funktionalgleichung abgeleitet hat.
Subjects:
Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\Gamma \)-Funktionen und verwandte Funktionen.
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