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Equations à intégrales principales. I, II. (French) JFM 60.1064.02
I. Der Begriff des Hauptintegrals (intégrale principale) ist von Cauchy für einfache Integrale eingeführt worden. Er ergibt sich ganz zwangsläufig in der Theorie der harmonischen Funktionen von zwei Veränderlichen und wird dort auch ständig verwendet. G. Bertrand ist, einer poincaréschen Anregung folgend, zu einem bemerkenswerten Problem der Theorie der harmonischen Funktionen von zwei Veränderlichen gelangt, das auf Gleichungen führt, in denen die unbekannte Funktion unter einem Cauchyschen Hauptintegral vorkommt (vgl. 1923; F. d. M. 49, 756 (JFM 49.0756.*)). Verf. untersucht eingehendst in der vorliegenden Studie solche Gelichungen, wobei er größrmögliche Allgemeinheit und Genauigkeit anstrebt. Von den auftretenden Keoffizienten wird durchweg vorausgesetzt, daß die Hölderschen Bedingungen genügen.
In ersten Kapitel der Arbeit wird eine sehr allgemeine Definition der Hauptintegrale für beliebig viele Dimensionen gegeben: Ist \(E\) eine beschränkte und abgeschlossene Menge des \(m\)-dimensionalen Raumes, welche die meßbaren und ineinandergeschachtelten Mengen \(E_n\) \((n=1,2,3,\dots )\) enthält, deren Maße gegen Null konvergieren, und ist \(F(A)\) eine Funktion, die nicht summierbar ist auf \(E\), aber summierbar auf jeder der Mengen \(E-E_n\), so heißt im Falle der Existenz der Grenzwert \[ \lim _{n \to \infty } \int _{E-E_n} FdV \] ein Hauptintegral von \(F\) in \(E\). Sodann werden Kerne \(K(x,\Xi )\) von Hauptintegralen, die über \(m\)-dimensionale “geschlossene Mannigfaltigkeiten” \(V\) erstreckt sind, eingeführt: Diese sind stetig und genügen gewissen Hölderschen Bedingungen für \(X\neq \Xi \), aber für \(X=\Xi \) werden sie im wesentlichen von der Ordnung \(m\) unendlich.
Im weiteren Teil des ersten Kapitels wird der Regularitätscharakter der Funktionen, die durch Hauptintegrale mit solchen Kernen definiert sind, studiert, und ein wichtiger Satz betreffend die Komposition zweier Kerne von Hauptintegralen abgeleitet, der für den Fall \(m=1\) schon von Poincaré und Bertrand angedeutet wurde. Er besagt im wesentlichen: Sind \(G(X,\Xi )\) und \(H(X,\Xi )\) zwei Kerne von Hauptintegralen im obigen Sinne und \[ \varphi (X) = \int _V H(X,A) \varrho (A) dV_A, \]
\[ \psi (X) = \int _V G(X,A) \varphi (A) dV_A, \] so existiert eine von \(\varrho \) unabhängige Funktion \(\Phi (X)\), so daß \[ \psi (X) = - \Phi (X) \varrho (X) + \int _V F(X,A) \varrho (A) dV_A \] ist. Dabei ist der Hauptintegralkern \(F(X,\Xi )\) definiert durch das Hauptintegral \[ F(X, \Xi ) = \int _V G(X,A) H (A,\Xi ) dV_A. \] II. Hier wird zunächst die Iteration spezieller Kerne von Hauptintegralen behandelt, wie sie sich bei den elliptischen Differentialgleichungen ergeben. Im Falle \(m=1\) ist \(G(x, \xi )\) von der Form \[ G(x, \xi ) = \frac {c(x)}{x-\xi } + O \left ( |x-\xi |^{h-1} \right ) \quad (0<h\leq 1). \] Wie schon Poincaré fand, ist in diesen Falle der iterierte Kern summierbar, für \(m \geq 2\) gilt das jedoch nicht mehr. Verf. bestimmt explizit die zu diesen Kernen gehörigen Funktionen \(\Phi (X)\), die sich als durchweg nichtnegativ erweisen.
Das dritte Kapitel handelt von den Gleichungen mit Hauptintegralen, deren Kerne von der erwähnten Art sind. Um diese Gleichungen auf Fredholmsche zu reduzieren, wurde unter Benutzung des oben erwähnten Poincaréschen Resultates von Bertrand das Iterationsverfahren angewendet. Da diese Methode für \(m>2\) nicht mehr zu summierbaren Kernen führt, wird sie vom Verf. in gewisser Weise modifiziert, indem nämlich ein neuer Kern \(H(X, \Xi ;\lambda )\) bestimmt wird, der der Bedingung \[ H(X, \Xi ;\lambda ) - (G(X,\Xi ) - \lambda \int _V H(X,A;\lambda ) G(A,\Xi ) dV_A = O[L^{k-m}(X,\Xi )] \]
\[ (k>0; L(X,\Xi ) = \text{Abstand der Punkte} \quad X \quad \text{und} \quad \Xi ) \] genügt. Mit Hilfe eines solchen Kernes gelingt die Reduktion der Gleichung mit Hauptintegralen auf gewöhnliche Fredholmsche Gleichungen, was Verf. für einfache und doppelte Integrale durchführt. Es ergibt sich dann, daß die drei Frendholmschen Hauptsätze auch für diese Gleichungen gültig sind, wenn man nur in der \(\lambda \)-Ebene ein gewisses Stück der imaginären Achse, das den Ursprung nicht enthält, ausschließt. Diese Resultate bleiben auch gültig für gewisse Systeme von solchen Integralgleichungen, wie sie sich bei den elliptischen Differentialgliechungen ergeben.
Das letzte Kapitel bringt eine Anwendung dieser Ergebnisse auf die Lösung gewisser sehr allgemeiner Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen mit zwei und drei unabhängigen Veränderlichen. Wenn die in der Gleichung und in den Randbedingungen auftretenden Koeffizienten Hölderschen Bedingungen genügen, so läßt sich die Diskussion dieser Probleme auf die Diskussion gewisser Fredholmscher Gleichungen zurückführen. Insbesondere haben diese Randwertaufgaben eine und nur eine Lösung, wenn die entsprechenden homogenen Probleme nur die triviale Lösung Null haben. (IV 13.)

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