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Spektraltheorie halbbeschränkter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren. I, II. (German) JFM 60.1078.01
I. Verf. entwickelt die Spektraltheorie der halbbeschränkten, linearen, symmetrischen Operatoren im abstrakten Hilbertraum auf eine neue Weise, unter Vermeidung der wesentlich komplizierteren, allgemeinen v. Neumannschen Theorie nicht beschränkter Operatoren. Neben den Operatoren werden zugehörige Formen betrachtet, und die Methode des Verf. beruht auf der folgenden Erkenntnis: Ist \(G\) eine positiv halbbeschränkte Form, d. h. gibt es ein positives \(\gamma \), so daß mit der Einheitsform \(H\) gilt: \(G \geq \gamma H\), so kann man die Form \(G\) als Maßform eines neuen Hilbertraumes auffasen, und die ursprüngliche Maßform \(H\) wird in ihm eine beschränkte Form. Die Spektralzerlegung von \(G\) ergibt sich damit als einfache Folge aus dem Spaktralsatz für beschränkte Formen. Am Schluß der Arbeit behandelt Verf. die von Hilbert und Weyl aufgestellen Kriterien dafür, daß das Spektrum eines Operators in einem Intervall nur aus diskreten Punkteigenwerten endlicher Vielfachheit besteht. Es ergibt sich eine einfache Beweisanordnung, die es gestattet, die Kriterien teils auf nichtbeschränkte, teil auf halbbeschränkte Operatoren zu übertragen.
II. Verf. wendet die von ihm in I. gewonnenen Resultate auf Potentialoperatoren der Form \[ G = - \sum _{\nu = 1}^n \frac {\partial ^2}{\underline {\partial x_{\nu }^2}} + \nu (x_1, \dots, x_n) \quad (n=1,2,3) \] an. Es werden verschiedene Fälle behandelt, die sich teils durch die Wahl des Gebiets der Variablen \(x_1, \dots, x_n\), teils durch die Randbedingungen unterscheiden. Unter Bezutzung der Sätze aus Teil I wird der ursprüngliche Operator eindeutig zu einen abgeschlossenen Operator fortgesetzt. Da dieser sich als selbstadjungiert erweist, ist seine Spektralzerlegbarkeit gegeben. Bei der Diskussion des Spektrums werden einfache Bedingungen angegeben, denen das Zusatzpotential \(\nu (x_1, \dots,x_n)\) genügen muß, damit das Spektrum überhaupt oder unterhalb einer Schranke ein Punktspektrum ist. In Ergänzung der hier behandelten typischen Fälle will Verf. die allgemeine Theorie halbbeshcränkter Operatoren mit Singularitäten für eine Veränderliche gesondert darstellen.

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