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Sur les moyennes successives des fonctions. (French) JFM 60.1138.02
\(u\) sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion von \(p\) Veränderlichen, \(S_p\) die Überkugel vom Halbmesser \(R\) und Mittelpunkt \(P\). Verf. bildet das arithmetische Mittel von \(u\) bezüglich der Oberfläche von \(S_p\), also \[ m_0(P)=\frac {\varGamma \left ( \dfrac {p}{2}\right ) } {2\pi ^{\tfrac {p}{2}}R^{p-1}} \int \limits _{S_p}udS_p, \] und nennt es das Flächenmittel von \(u\). Es genügt der Differentialgleichung \(\varDelta v=Bv\), wo \(\varDelta \) der Laplacesche Operator und \(B\) der Operator \(\dfrac {\partial ^2}{\partial R^2}+\dfrac {p-1}{R}\dfrac {\partial }{\partial R}\) ist, und zwar ist \(m_0\) die einzige zweimal stetig differenzierbare Lösung dieser Differentialgleichung, die für \(R=0\) einer vorgegebenen Funktion gleich ist. Wenn \(u\) einer linearen partiellen Differentialgleichung mit konstanten Koefizienten genügt, so gilt dasselbe von seinem Flächenmittel und umgekehrt. Ist \(u\) \(n\)-fach metaharmonisch, d. h. Lösung der Differentialgleichung \[ \varDelta ^nu+\lambda _1\varDelta ^{n-1}u+ \cdots + \lambda _nu=0 \qquad (\lambda _1,\lambda _2,\dots,\lambda _n=\text{const}), \] so genügt \(m_0\) der Gleichung \[ B^nm_0+\lambda _1B^{n-1}m_0+\cdots +\lambda _nm_0=0 \] und umgekehrt. Als charakteristisches Kennzeichen einer \(n\)-fach metaharmonischen Funktion ergibt sich die Darstellung \[ m_0(P)=\varphi _{0}(R)F_{0}(P)+\varphi _{1}(R)F_{1}(P)+\cdots + \varphi _{n-1}(R)F_{n-1}(P), \] wobei die \(\varphi _i(R)\) voneinander linear unabhängig, aber nicht willkürlich sind, sondern derselben Differentialgleichung wie \(m_0\) genügen. \(m_0\) genügt auch einer linearen Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung bezüglich der unabhängigen Veränderlichen \(R\), die ebenfalls dafür charakteristisch ist, daß die zugehörige Funktion \(u\) \(n\)-fach metaharmonisch ist.
Außer \(m_0\) führt Verf. noch die aufeinanderfolgenden Mittel \(m_i\) durch die Gleichung \[ m_i=\frac {p+2i-2}{R^{p+2i-2}}\int \limits _{0}^{R} R^{p+2i-3}m_{i-1}(P)dR \] ein. \(m_1\) ist das sogenannte Raummittel von \(u\). Es läßt sich zeigen, daß \(u\) dann und nur dann \(n\)-fach metaharmonisch ist, wenn \(n+1\) aufeinander folgende Mittel \(m_i,m_{i+1},\dots,m_{i+m}\) einer Gleichung von der Form \[ \varphi _i(R)m_i+\varphi _{i+1}(R)m_{i+1}+\cdots +\varphi _{i+n}(R)m_{i+n}=0 \] genügen oder wenn sich \(u,\varDelta u, \varDelta ^2u,\dots \) als lineare homogene Funktionen von \(m_i\), \(m_{i+1},\dots,m_{i+n-1}\) darstellen lassen, wobei die Koeffizienten nur von \(R\) abhängen.

Subjects:
Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus.
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Full Text: DOI Numdam EuDML