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Zur ersten Randwertaufgabe der Wärmeleitungsgleichung. (German) JFM 60.1140.01

Es handelt sich im wesentlichen um den Beweis des folgenden Satzes: Es sei \(G\) dasjenige (beschränkte einfach zusammenhängende) Gebiet der \((x,t)\)-Ebene, dessen Begrenzung aus zwei zur \(x\)-Achse parallelen Strecken besteht sowie aus zwei Jordanbogen \(x=\varphi _j(t)\) \((j=1,2)\) durch welche entsprechende Endpunkte jener Strecken verbunden werden. A) Dann existiert eine Lösung der ersten Randwertaufgabe der Wärmeleitungsgleichung \[ \frac {\partial u}{\partial t}= \frac {\partial ^2u}{\partial x^2} \tag{W} \] für eine beliebige auf der Begrenzung von \(G\) definierte stetige Funktion \(f\), sobald die \(\varphi _j\) folgende Bedingung erfüllen: Zu jedem \(t\) gibt es eine für \(h<0\) definierte, positive stetige monotone Funktion \(\varrho _t(h)\), so daß\(\lim \limits _{h\to -0}\varrho _t(h)=0\), und daßfür alle absolut hinreichend kleinen \(h<0\) und für eine passend gewählte Konstante \(c<0\) gilt: \[ \begin{gathered} \varphi _1(t+h)-\varphi _1(t)\geqq -2\sqrt {h\log \varrho _t(h)}, \tag{1}\\ \varphi _2(t+h)-\varphi _2(t)\leqq 2\sqrt {h\log \varrho _t(h)}, \tag{2}\\ \lim \limits _{s\to -0}\int \limits _{c}^{\varepsilon } \frac {\varrho _t(h)\sqrt {| \log \varrho _t(h)| }}{h}dh=-\infty. \tag{3} \end{gathered} \] B) Steht für mindestens ein \(t\) bzw. ein zugehöriges \(\varrho _t(h)\) in (1) oder (2) das umgekehrte Ungleichheitszeichen und konvergiert gleichzeitig das Integral in (3), so gibt es (mindestens) ein auf der Begrenzung von \(G\) definiertes stetiges \(f\), für welches die erste Randwertaufgabe bezüglich (\(W\)) nicht lösbar ist.
Der Beweis beruht auf einer Fortbildung bzw. Verfeinerung der auf den Fall der Differentialgleichung (\(W\)) von W. Sternberg [Math. Ann. 101, 394–398 (1929; JFM 55.0290.14)] übertragenen Perronschen Methode zur Lösung der ersten Randwertaufgabe der Potentialtheorie. Sternberg hatte von den \(\varphi _j\) gefordert, daß ihre Derivierten beschränkt sind, während bei M. Gevrey (1913; JFM 44.0431.02, JFM 44.0431.03), welcher die Frage mit anderen Hilfsmitteln behandelt hat, \(| \varphi _j(t+h)-\varphi _j(t)| <C| h| ^{\alpha }\) mit \(\alpha >\dfrac 12\) vorausgesetzt wurde (\(C\) konstant). In einer etwas spezielleren Fassung gilt übrigens obiger Satz auch für \[ \frac {\partial u}{\partial t}=\sum \limits _{\nu =1}^{n} \frac {\partial ^2u}{\partial x_{\nu }^2}, \qquad n\geqq 2. \]

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Full Text: EuDML