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Alcune applicazioni dei coefficienti di F’ourier all’analisi delle funzioni aleatorie stazionarie. (Italian) JFM 60.1167.01

\(Y_0\) \(Y_1\), \(Y_2\),…sei eine unendliche Folge von Zufallsvariablen, die den äquidistanten Werten einer unabhängigen Variablen \(t\) entsprechen. Auf jede der ersten \(N\) Zufallsvariablen sei ein Versuch angewendet, und man betrachte die tatsächlich erhaltenen Werte \(y_0\), \(y_l\),…, \(y_{N-1}\) gleichsam als eine Zufallsfunktion der Variablen \(t\). Man nennt diese Funktion nicht-kohärent, wenn alle Werte der Funktion unabhängig sind, und kohärent im entgegengesetzten Falle. Die Funktion heiße stationär (oder homogen), wenn das Wahrscheinlichkeitsgesetz von \(y_t\) nicht von \(t\) abhängt, und wenn für die willkürlichen natürlichen Zahlen \(\alpha <\beta <\gamma <\cdots <\nu \) das Wahrscheinlichkeitsgesetz in bezug auf die Gesamtheit der Werte \(y_\alpha \), \(y_\beta \), \(y_\gamma \), …, \(y_\nu \) nur von den Differenzen der Indices \(\beta -\alpha \), \(\gamma -\alpha \),…, \(\nu -\alpha \) abhängt. Es wird nun folgendes vorausgesetzt: 1) daß die genannte Zufallsfunktion stationär ist; 2) daß sie der Normalverteilung folgt; 3) daß die Reihe \(\varrho (1)+2\varrho (2)+3\varrho (3)+\cdots \) absolut konvergiert, wenn \(\varrho (t)\) den Korrelationskoeffizienten zwischen \(y_i\) und \(y_{i+t}\) darstellt.
Sei nun die endliche Folge der Werte der Zufallsfunktion gegeben: \(y_0\), \(y_1\),…, \(y_{N-1}\). Es wird versucht, sie mittels der ersten \((n+1)\) Glieder einer Fourier-Reihe darzustellen, indem man setzt: \[ y_t=\frac 12A_0+\sum _{k=1}n A_k\cos \frac {2\pi kt}N+\sum _{k=1}^n B_k\sin \frac {2\pi kt}N \] mit \[ \begin{aligned} A_k&=\frac {\alpha _k}n\sum _{i=0}^{N-1}y_i\cos \frac {2\pi ki}N,\quad B_k=\frac {\alpha _k}n\sum _{i=0}^{N-1}y_i\sin \frac {2\pi ki}N,\quad (k=0,1,2,\dots,n)\\ n&=\frac N2\;(\text{für gerades }N) \text{ oder } =\frac {N-1}2 (\text{für ungerades }N),\\ \alpha _k&=2\;\text{für } k\neq \frac 12N\;\text{ oder }\;\alpha _k=1\;\text{ für }\^^Mk=\frac 12N=n. \end{aligned} \] Sei ferner \[ R^2_k=A_k^2+B_k^2. \] Dann wird definiert: Periodogramm ist eine Funktion mit den Ordinaten \(R_1^2\), \(R_2^2\),…, \(R_n^2\) und deren zugehörigen Abszissen \(\frac 1N\), \(\frac 2N\), …, \(\frac nN\).
Sowohl die Fourier-Koeffizienten als auch die Periodogramme haben als Funktionen von Zufallsvariablen selber den Charakter von Zufallsfunktionen. Sie besitzen also Verteilungen mit den üblichen statistischen Maßzahlen.
Der wesentliche Inhalt der Arbeit ist eine umfangreiche Berechnung und Zusammenstellung der wichtigsten statistischen Maßzahlen der Fourier-Koeffizienten (Momente, Korrelationen).
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