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On locally connected and related sets. (English) JFM 60.1218.01
Nach Borsuk (Sur les rétractes; Einige Sätze über stetige Streckenbilder; Über eine Klasse von lokal zusammenhängenden Räumen; Fundamenta 17 (1931), 152-170; 18 (1932), 198-213; 19 (1932), 220-242; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 729; 58) heißt eine abgeschlossene Teilmenge \(A\) eines kompakten metrischen Raumes \(R\) ein Umgebungsretrakt in \(R\), wenn es in \(R\) eine Umgebung \(U\) von \(A\) gibt, die sich eindeutig und stetig so auf \(A\) abbilden läßt, daß \(A\) punktweise fest bleibt; kann man \(U = R\) wählen, so heißt \(A\) ein Retrakt in \(R\). Hat \(A\) die Retrakteigenschaft, wie man auch immer \(A\) in einen kompakten metrischen Raum einbettet, so spricht man von absoluten Retrakten bzw. absoluten Umgebungsretrakten.
Die Retrakteigenschaften stehen in enger Beziehung zu gewissen Eigenschaften des Zusammenhangs im kleinen. Verf. nennt \(A\) lokal \(q\)-zusammenhängend, wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\eta > 0\) von der Eigenschaft gibt, daß jede singuläre \(q\)-Sphäre (eindeutiges stetiges Bild einer \(q\)-dimensionalen Sphäre) in \(A\), deren Durchmesser \(< \eta \) ist, eine singuläre \((q + 1)\)-Zelle (eindeutiges stetiges Bild einer \((q + l)\)-dimensionalen Zelle) von einem Durchmesser \(< \varepsilon \) in \(A\) berandet. \(A\) heißt eine \(LC^p\)-Menge, wenn \(A\) lokal \(q\)-zusammenhängend für jedes \(q, 0 \leq q \leq p\), ist, und eine \(LC\)-Menge (locally connected im Sinne der Topology des Verf. (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 491), p. 91), wenn sie (mit von \(p\) unabhängigem \(\eta (\varepsilon )\)) eine \(LC^p\)-Menge für jedes \(p\) ist. Wenn schließlich die \(LC\)-Menge \(A\) die Eigenschaft hat, daß man, wenn \(\varepsilon \) gegen den Durchmesser \(\alpha \) von \(A\) geht, die zugehörigen \(\eta (\varepsilon )\) so wählen kann, daß auch \(\eta (\varepsilon ) \to \alpha \), so heißt \(A\) eine \(\overline {LC}\)-Menge.
Das Hauptergebnis der Arbeit lautet: Die Klasse der \(LC\)-Mengen ist mit der der absoluten Umgebungsretrakte, die der \(\overline {LC}\)-Mengen mit der Klasse der absoluten Retrakte identisch.
Der Beweis macht von der Tatsache Gebrauch, daß, nach Borsuk, die absoluten Umgebungsretrakte bzw. absoluten Retrakte identisch sind mit den Umgebungsretrakten bzw. Retrakten der Fundamentalquader \(\mathfrak H\) des Hilbertschen Raumes. Nach Einbettung von \(A\) in \(\mathfrak H\) läßt sich nämlich ein unendlicher simplizialer Komplex \(K\) in \(\mathfrak H - A\) und eine eindeutige stetige Abbildung \(\Pi \) von \(\mathfrak H\) definieren derart, daß 1) \(K\) außerhalb jeder Umgebung \(U\) von \(A\) nur endlich viefe Zellen besitzt, 2) die Durchmesser der in \(U\) enthaltenen Zellen gegen Null gehen, wenn \(U\) sich auf \(A\) zusammenzieht, 3) \(\Pi (\mathfrak H - A) = K\) und 4) \(\Pi \) auf \(A\) die idelitische Abbildung ist.
Ist nun \(A\) eine \(LC\)-Menge, so kann man zunächst eine Abbildung \(T\) des in einer gewissen Umgebung von \(A\) gelegenen Teiles \(K^{(p)}\) von \(K\) in \(A\) hinein konstruieren, indem man durch geeignete Verrückungen die Ecken von \(K^{(p)}\) nach \(A\) brigt und das folgende Kriterium für \(LC^p\)-Mengen anwendet: \(A\) ist dann und nur dann eine \(LC^P\)-Menge, wenn es zu \(\varepsilon > 0\) ein \(\eta > 0\) gibt, derart, daß jedes semisinguläre Bild eines \(p\)-dimensionalen Komplexes \(K_p\) mit Zellendurchmessern \(< \eta \) sich ergänzen läßt zu einem singulären Bild von \(K_p\) mit Zellendurchmessern \(< \varepsilon \); unter einem semisingulären Bild von \(K_p\) ist dabei eine evtl. nur auf einem Teil der Zellen von \(K_p\), darunter jedoch allen Ecken, definierte eindeutige stetige Abbildung in \(A\) zu verstehen, und der Zellendurchmesser wird hier durch das Bild des Teiles der Zelle, in dem die Abbildung schon definiert ist, bestimmt. Die Originalmenge von \(K^{(p)} + A\) bei \(\Pi \) enthält eine Umgebung \(U\) von \(A\), und \(T\Pi \), fortgesetzt durch die identische Abbildung in \(A\), liefert eine Retraktion von \(U\). Ist umgekehrt \(A\) Umgebungsretrakt in \(\mathfrak H\), so kann man zeigen, daß das angegebene \(LC^p\)-Kriterium für jedes \(p\) in einer retrahierbaren Umgebung von \(A\) und dann, vermittels der retrahierenden Abbildung, in \(A\) selbst erfüllt ist. - Der Übergang zu \(\overline {LC}\)-Mengen und absoluten Retrakten macht keine Schwierigkeit.
Verf. zeigt dann noch: Die Bettischen Zahlen und Torsionszahlen einer \(LC\)-Menge \(A\) sind alle endlich und nur für endlich viele Dimensionen von Null verschieden; die höchste Dimensionszahl, für die die Homologiecharaktere noch nicht verschwinden, ist offenbar eine topologische Invariante von \(A\). Die \(\overline {LC}\)-Mengen haben dieselben Homologiecharaktere wie eine Zelle.
Schließlich werden der verallgemeinerte Alexandersche Dualitätssatz und die Lefschetzsche Fixpunktformel auf \(LC\)-Mengen angewendet. So ergibt sich z. B. die Existenz wenigstens eines Fixpunktes bei eindeutiger stetiger Abbildung einer \(\overline {LC}\)-Menge in sich.

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