Über mehrdeutige stetige Abbildungen. (German) JFM 60.1227.03

Banach, S.; Mazur, S.

Studia math. 5, 174-178 (1934).

Verf. beweisen die folgenden unter spezielleren Voraussetzungen bekannten Sätze:
I. \(X, Y\) seien metrische Räume; \(X\) besitze die beiden Eigenschaften: (\(\alpha \)) Innerhalb jeder Umgebung eines jeden Punktes \(x\) von \(X\) können alle Punkte einer geeigneten hinreichend kleinen Umgebung von \(x\) mit \(x\) durch einen stetigen Bogen verbunden werden. (\(\beta \)) Je zwei stetige Bogen mit gemeinsamem Anfangspunkt und Endpunkt können in \(X\) unter Festhaltung von Anfangspunkt und Endpunkt stetig ineinander übergeführt werden. Dann zerfällt jede \(k\)-deutige stetige Abbildung von \(X\) in \(Y\) in (eindeutige) stetige Zweige.
II. \(X, Y\) seien metrische Räume; \(X\) sei zusammenhängend, \(Y\) habe die Eigenschaften (\(\alpha \)) und (\(\beta \)) aus I. \(f(x)\) sei eine lokal-homöomorphe Abbildung von \(X\) in \(Y\), d. h. jeder Punkt \(x\) von \(X\) besitzt eine Umgebung \(U(x)\), die durch \(f\) homöomorph auf eine Umgebung von \(f(x)\) abgebildet wird. Sind außerdem die Urbildmengen in sich kompakter Mengen in sich kompakt, so ist \(f(x)\) eine homöomorphe Abbildung von \(X\) auf \(Y\).
Die Sätze lassen sich auf topologische Räume übertragen.

Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie