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Sur quelques propriétés des courbes de M. Birkboff. (French) JFM 60.1228.03
C. R. 198, 701-703 (1934); Bulletin S. M. F. 62, 193-224 (1934).
Eine geschlossene Kurve \(C\) (nach der Definition von Schoenflies) heißt nach links gedreht (roulée à gauche) bezüglich ihres Innengebietes \(S_i\) (Außengebietes \(S_e\)), wenn der Ursprung \(O\) in \(S_i\) (ein Punkt \(O'\) auf einem Kreis mit Mittelpunkt \(O\), der ganz in \(S_e\) liegt) mit einem beliebigen Punkt \(P\) von \(S_i\;(S_e)\) durch eine reguläre Kurve ohne Doppelpunkt in \(S_i\;(S_e)\) verbunden werden kann, deren Tangentenrichtung beim Durchlaufen von \(O\;(O')\) nach \(P\) niemals rechts von der radialen Richtung \(OP\;(PO)\) liegt. Eine bezüglich ihres Inneren und Äußeren nach links gedrehte Kurve, die invariant gegenüber einer gewissen analytischen Transformation \(T_{\varepsilon }\) ist, welche die von innen und die von außen erreichbaren Punkte mit verschiedenen Rotationskoeffizienten bewegt, heißt eine Birkhoffsche Kurve. \(K\) bezeichne die Menge der Punkte auf einer Birkhoffschen Kurve, die von \(O\) aus erreichbar sind; \(\mathfrak K\) ist die Menge der Radien von \(O\) aus, die auf den Punkten der abgeschlossenen Hülle \(\bar K\) von \(K\) enden; eine Kurve \(\Lambda \) ist dasjenige Segment eines einfachen Bogens, der einen erreichbaren Punkt \(P\) von \(C\) mit \(O\) verbindet, das sich von \(P\) aus bis zum ersten Punkt erstreckt, in dem der Bogen \(\mathfrak K\) trifft.
Verf. kündigt in der C.-R.-Note die folgenden Resultate an, deren Beweise in der zweiten Arbeit ausgeführt werden: (a) Der radiale Abstand eines Punktes von \(K\) ist als Funktion von \(\theta \) (des Winkels eines Polarkoordinatensystems mit Ursprung \(O\)) von links her stetig. (b) Wenn die Häufungsmenge der Mengen \(\bar K, T^{-1}_{\varepsilon }\bar K,\dots, T^{-n}_{\varepsilon }\bar K, \dots \) keine abzählbare Menge ist, so existieren Punkte auf \(C\), die bei beliebig oftmaliger Wiederholung von \(T_{\varepsilon }\), in \(K\) bleiben. (c) Zu jeder noch so großen Zahl \(\varrho \) existiert stets eine Kurve \(\Lambda \), die wenigstens \(\varrho \) Umläufe um \(O\) macht. (d) \(C\) ist ein unzerlegbares Kontinuum.
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Full Text: EuDML